已知數(shù)列{an}是首項為1,公差為d的等差數(shù)列,數(shù)列{bn}是首項為1,公比為q(q>1)的等比數(shù)列.
(1) 若a5=b5,q=3,求數(shù)列{an·bn}的前n項和;
(2) 若存在正整數(shù)k(k≥2),使得ak=bk.試比較an與bn的大小,并說明理由.
解: (1) 依題意,a5=b5=b1q5-1=1×34=81,
故d==20,
所以an=1+20(n-1)=20n-19.(3分)
令Sn=1×1+21×3+41×32+…+(20n-19)·3n-1,①
則3Sn=1×3+21×32+…+(20n-39)·3n-1+(20n-19)·3n,�、�
①-②,得-2Sn=1+20×(3+32+…+3n-1)-(20n-19)·3n=1+20×-(20n-19)·3n
=(29-20n)·3n-29,
所以Sn=
(2) 因為ak=bk,
所以1+(k-1)d=qk-1,即d=,
故an=1+(n-1) .
又bn=qn-1,(9分)
所以bn-an=qn-1-
= [(k-1)(qn-1-1)-(n-1)(qk-1-1)]
= [(k-1)(qn-2+qn-3+…+q+1)-(n-1)(qk-2+qk-3+…+q+1)].(11分)
(ⅰ) 當1<n<k時,由q>1知
bn-an= [(k-n)(qn-2+qn-3+…+q+1)-(n-1)(qk-2+qk-3+…+qn-1)]
< [(k-n)(n-1)qn-2-(n-1)(k-n)qn-1]
=-
<0;(13分)
(ⅱ)當n>k時,由q>1知
bn-an= [(k-1)(qn-2+qn-3+…+qk-1)-(n-k)(qk-2+qk-3+…+q+1)]
> [(k-1)(n-k)qk-1-(n-k)(k-1)qk-2]
=(q-1)2qk-2(n-k)
>0,(15分)
綜上所述,當1<n<k時,an<bn;當n>k時,an>bn;當n=1,k時,an=bn.(16分)
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
已知各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項的乘積Tn= (n∈N*),bn=log2 an,則數(shù)列{bn}的前n項和Sn取最大時,n=________.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
某住宅小區(qū)計劃植樹不少于100棵,若第一天植2棵,以后每天植樹的棵樹是前一天的2倍,則需要的最少天數(shù)n(n∈N*)為________.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
某科研單位欲拿出一定的經(jīng)費獎勵科研人員,第1名得全部資金的一半多一萬元,第2名得剩下的一半多一萬元,以名次類推都得到剩下的一半多一萬元,到第10名恰好資金分完,則此科研單位共拿出________萬元資金進行獎勵.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
已知數(shù)列{an},{bn}滿足a1=1,且an、an+1是函數(shù)f(x)=x2-bnx+2n的兩個零點,則b10=________.
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