已知數(shù)列{an}是首項為1,公差為d的等差數(shù)列,數(shù)列{bn}是首項為1,公比為q(q>1)的等比數(shù)列.

(1) 若a5=b5,q=3,求數(shù)列{an·bn}的前n項和;

(2) 若存在正整數(shù)k(k≥2),使得ak=bk.試比較an與bn的大小,并說明理由.


 解: (1) 依題意,a5=b5=b1q5-1=1×34=81,

故d==20,

所以an=1+20(n-1)=20n-19.(3分)

令Sn=1×1+21×3+41×32+…+(20n-19)·3n-1,①

則3Sn=1×3+21×32+…+(20n-39)·3n-1+(20n-19)·3n,�、�

①-②,得-2Sn=1+20×(3+32+…+3n-1)-(20n-19)·3n=1+20×-(20n-19)·3n

=(29-20n)·3n-29,

所以Sn

(2) 因為ak=bk

所以1+(k-1)d=qk-1,即d=,

故an=1+(n-1) .

又bn=qn-1,(9分)

所以bn-an=qn-1

[(k-1)(qn-1-1)-(n-1)(qk-1-1)]

[(k-1)(qn-2+qn-3+…+q+1)-(n-1)(qk-2+qk-3+…+q+1)].(11分)

(ⅰ) 當1<n<k時,由q>1知

bn-an [(k-n)(qn-2+qn-3+…+q+1)-(n-1)(qk-2+qk-3+…+qn-1)]

[(k-n)(n-1)qn-2-(n-1)(k-n)qn-1]

=-

<0;(13分)

(ⅱ)當n>k時,由q>1知

bn-an [(k-1)(qn-2+qn-3+…+qk-1)-(n-k)(qk-2+qk-3+…+q+1)]

[(k-1)(n-k)qk-1-(n-k)(k-1)qk-2]

=(q-1)2qk-2(n-k)

>0,(15分)

綜上所述,當1<n<k時,an<bn;當n>k時,an>bn;當n=1,k時,an=bn.(16分)


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