Question

正項(xiàng)數(shù)列{a_n}，其前n項(xiàng)和為S_n并且滿足：a_n+1²-a_n²=2ⁿ（S_n+1-S_n+a_n）且a₁=1，n∈N*．
（I）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（II）若bn=

an

an+1

，判斷數(shù)列{b_n}的單調(diào)性，并證明之．

Answer 1

分析：（I）由題設(shè)知（a_n+1-a_n）（a_n+1+a_n）=2ⁿ（a_n+1+a_n），a_n+1-a_n=2ⁿ，由此用疊加法能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（II）數(shù)列{b_n}是增數(shù)列．用數(shù)學(xué)歸內(nèi)法進(jìn)行證明．

解答：解：（I）∵a_n+1²-a_n²=2ⁿ（S_n+1-S_n+a_n）且a₁=1，n∈N*．
∴（a_n+1-a_n）（a_n+1+a_n）=2ⁿ（a_n+1+a_n），
∴a_n+1-a_n=2ⁿ，
∴a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）
=1+2+2²+…+2^n-1
=2ⁿ-1．
（II）bn=

an

an+1

=

2n-1

2n+1-1

，此數(shù)列是增數(shù)列．用數(shù)學(xué)歸綱法證明如下：
（1）b2-b1=

22-1

23-1

=

3

7

＞0，∴b₂＞b₁．
（2）假設(shè)b_k＞b_k-1，即

2k-1

2k+1-1

-

2k-1-1

2k-1

＞0，
則

2k+1-1

2k+2-1

-

2k-1

2k+1-1

=

2•2k-1

2•2k+1-1

-

2•2k-1-1

2•2k-1

＞0，
即b_k+1＞b_k．
由（1）、（2）知，bn=

an

an+1

是增數(shù)列．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意公式的合理運(yùn)用．