Question

已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）為偶函數(shù)，其圖象上相鄰的兩個對稱軸之間的距離為π．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若sinα-f（α）=

2

3

，求

2 sin(2α- π 4 )+1

1+tanα

的值．

Answer 1

考點：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換,同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運用

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）由周期求得ω=1，根據(jù)函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，求得φ=

π

2

，從而求得f（x）的解析式．
（2）由sinα-f（α）=

2

3

，求得 2sinαcosα=

5

9

，再利用兩角差的正弦公式、二倍角公式化簡要求的式子為2sinαcosα，從而得出結(jié)論．

解答： 解：（1）由題意函數(shù)圖象上相鄰的兩個對稱軸之間的距離為π，可得函數(shù)的周期為2π=

2π

ω

，求得ω=1．
再根據(jù)函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）為偶函數(shù)，可得φ=kπ+

π

2

，k∈z，
∴φ=

π

2

，f（x）=sin（x+

π

2

）=cosx．
（2）∵sinα-f（α）=

2

3

，即 sinα-cosα=

2

3

．
平方可得 2sinαcosα=

5

9

，
∴

2 sin(2α- π 4 )+1

1+tanα

=

2 sin2αcos π 4 - 2 cos2αsin π 4 +1

cosα+sinα cosα

=

cosα(2sinαcosα+2sin2α)

cosα+sinα

=2sinαcosα=

5

9

．

點評：本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、兩角差的正弦公式、二倍角公式，屬于基礎(chǔ)題．