Question

如圖所示,在四棱錐中,底面為矩形,平面,點(diǎn)在線段上,平面.

(Ⅰ)證明:平面;

(Ⅱ)若,,求二面角的正切值.

 

Answer 1

【答案】

（1）對(duì)于線面垂直的證明，一般要通過(guò)線線垂直來(lái)分析證明，關(guān)鍵是對(duì)于，

（2）3

【解析】

試題分析：解析:(Ⅰ)因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013071612264985785668/SYS201307161227404737186473_DA.files/image003.png">平面,平面,所以.又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013071612264985785668/SYS201307161227404737186473_DA.files/image006.png">平面,平面,所以.而,平面,平面,所以平面.                                 

5分 

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知平面,而平面,所以,而為矩形,所以為正方形,于是.

法1:以點(diǎn)為原點(diǎn),、、為軸、軸、軸,建立空間直角坐標(biāo)系.則、、、,于是,.設(shè)平面的一個(gè)法向量為,則,從而,令,得.而平面的一個(gè)法向量為.所以二面角的余弦值為,于是二面角的正切值為3.                                      13分

法2:設(shè)與交于點(diǎn),連接.因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013071612264985785668/SYS201307161227404737186473_DA.files/image003.png">平面,平面,平面,所以,,于是就是二面角的平面角.又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013071612264985785668/SYS201307161227404737186473_DA.files/image012.png">平面,平面,所以是直角三角形.由∽可得,而,所以,,而,所以,于是,而,于是二面角的正切值為.

考點(diǎn)：空間向量法求解角，以及線面垂直

點(diǎn)評(píng)：主要是考查了空間幾何體中線面垂直的證明，以及二面角的平面角的求解，屬于中檔題。