Question

已知直角坐標(biāo)平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)F（2，0）的距離與直線x=-2的距離相等．
（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)M（m，0）（m＞0）作直線與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，問：是否存在一條垂直于x軸的直線與以線段AB為直徑的圓始終相切？若存在，求出m的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）根據(jù)直角坐標(biāo)平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)F（2，0）的距離與直線x=-2的距離相等，利用拋物線的定義，可求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（Ⅱ）設(shè)過點(diǎn)M的直線方程為x=λy+m，代入y²=8x，求出AB，設(shè)存在直線x=x₀滿足條件，則2|4λ²+m-x₀|=

(1+λ2)(64λ2+32m)

，從而可得（16+8x₀）λ²+8m-m²-x₀²+2mx₀=0對(duì)任意的λ成立，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）由拋物線的定義，知所求P點(diǎn)的軌跡是以F（2，0）為焦點(diǎn)，直線x=-2為準(zhǔn)線的拋物線．
設(shè)方程為y²=2px，其中

p

2

=2，p=4．
所以，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為y²=8x．（5分）
（Ⅱ）設(shè)過點(diǎn)M的直線方程為x=λy+m，代入y²=8x，得y²-8λy-8m=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y₁+y₂=8λ，y₁y₂=-8m．
于是x₁+x₂=λ（y₁+y₂）+2m=8λ²+2m．
所以AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（4λ²+m，4λ）．
又AB=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

(1+λ2)(y1-y2)2

=

(1+λ2)[(y1+y2)2-4y1y2

=

(1+λ2)(64λ2+32m)

．
設(shè)存在直線x=x₀滿足條件，則2|4λ²+m-x₀|=

(1+λ2)(64λ2+32m)

化簡，得（16+8x₀）λ²+8m-m²-x₀²+2mx₀=0．
所以，（16+8x₀）λ²+8m-m²-x₀²+2mx₀=0對(duì)任意的λ成立，
所以

16+8x0=0 8m-m2- x 2 0 +2mx0=0

，解得x₀=-2，m=2．
所以，當(dāng)m=2時(shí)，存在直線x=-2與以線段AB為直徑的圓始終相切．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確運(yùn)用韋達(dá)定理是關(guān)鍵．