Question

已知函數(shù)f(x)=

1

6

x3+

1

4

x2，數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n=f'（n）（n∈N^*）．
（Ⅰ）求通項(xiàng)a_n；
（Ⅱ）令bn=2n•an，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意可得S_n=

1

2

n2+

1

2

n，由an=

a1                n=1 Sn-Sn-1，  n≥2

可求通項(xiàng)a_n；
（Ⅱ）Tn=1×21+2×22+…+n×2n，由其特點(diǎn)可知：數(shù)列的每一項(xiàng)都是由等差數(shù)列里的項(xiàng)與等比數(shù)列里的項(xiàng)的成績(jī)構(gòu)成的，用錯(cuò)位相減法可求和．

解答：解：（Ⅰ）函數(shù)f(x)=

1

6

x3+

1

4

x2，則f′（x）=

1

2

x2+

1

2

x，S_n=f'（n）=

1

2

n2+

1

2

n，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=

1

2

n2+

1

2

n-

1

2

(n-1)2-

1

2

(n-1)=n；
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=1，符合上式，
故a_n=n
（Ⅱ）由題意bn=2n•an=n×2ⁿ
∴Tn=1×21+2×22+…+n×2n，兩邊同乘以2，得
2Tn=1×22+2×23+…+n×2n+1，兩式相減得
-Tn=2+(22+23+…+2n)-n×2n+1=

2(1-2n)

1-2

-n×2n+1
=（1-n）×2ⁿ⁺¹-2，
∴Tn=(n-1)×2n+1+2
故答案為：（n-1）×2ⁿ⁺¹+2

點(diǎn)評(píng)：本題為數(shù)列求和的錯(cuò)位相減法，涉及函數(shù)與數(shù)列的關(guān)系，掌握錯(cuò)位相減法求和是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬中檔題．