Question

已知橢圓上的點P到左、右兩焦點F₁、F₂的距離之和為，離心率
（I）求橢圓的方程；
（II）過右焦點F₂且不垂直于坐標軸的直線l交橢圓于A，B兩點，試問：險段OF₂上是否存在一點M，使得|MA|=|MB|？請作出并證明．

Answer 1

【答案】分析：（I）根據(jù)點P到左、右兩焦點F₁、F₂的距離之和求得a，進而根據(jù)離心率e求得c，再根據(jù)b=求得b，橢圓的方程可得．
（II）設直線的方程為y=k（x-1），直線方程與橢圓方程聯(lián)立，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），以及AB的中點C（x，y），根據(jù)韋達定理可得x₁+x₂的表達式，根據(jù)x=進而可得x和y的表達式，再根據(jù)設滿足條件的點M（m，0），根據(jù)CM⊥AB，k_CM•k_AB=-1，代入即可得到m和k的關系式，進而根據(jù)k的范圍確定m的范圍，進而判斷存在滿足條件的點M．
解答：解：（I）橢圓的方程圓設a＞b
∵點P到左、右兩焦點F₁、F₂的距離之和為，
∴2a=2，a=
∵離心率e==，
∴c=1，b==1
∴所求橢圓的方程為
（II）存在滿足條件的M，
證明：設直線的方程為y=k（x-1）（k≠0）
由
可得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），以及AB的中點C（x，y），
∴x₁+x₂=
∴x==，y=k（x-1）=-
再設滿足條件的點M（m，0），則0≤m≤1，
所以CM⊥AB，則k_CM•k_AB=-1
由k_CM==
∴•k=-1，解得m=
∵k²＞0，可得0＜m＜，故存在滿足條件的點M．
點評：本題主要考查了橢圓與直線的關系和橢圓的標準方程問題．圓錐曲線的問題是歷年來高考中重點考查的題型，故應加強這方面的復習．