Question

已知實數(shù)x、y滿足約束條件

x+2y≥2 2x+y≤4 4x-y≥-1

，若

a

=（x，y），

b

=（3，-1），設z表示向量

a

在

b

方向上的投影，則z的取值范圍是（　　）

• A、[-

  3

  2

  ，6]
• B、[-1，6]
• C、[-

  3

  2 10

  ，

  6

  10

  ]
• D、[-

  1

  10

  ，

  6

  10

  ]

Answer 1

考點：簡單線性規(guī)劃,平面向量數(shù)量積的運算

專題：不等式的解法及應用

分析：作出不等式組對應的平面區(qū)域，利用向量投影的定義計算z的表達式，利用數(shù)形結合即可得到結論．

解答： 解：∵

a

=（x，y），

b

=（3，-1），z表示向量

a

在

b

方向上的投影，
∴z=

a • b

| b |

=

3x-y

10

，
即y=3x-

10

z，
作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖：
平移直線y=3x-

10

z，當y=3x-

10

z，經(jīng)過點C時直線y=3x-

10

z的截距最大，
此時z最小，當y=3x-

10

z經(jīng)過點B（2，0）時，直線的截距最小，此時z最大．
由

4x-y=-1 2x+y=4

，得

x= 1 2 y=3

，即C（

1

2

，3），
此時最小值z=

3× 1 2 -3

10

=-

3

2 10

，
此時最大值z=

6

10

，
故z的取值范圍是[-

3

2 10

，

6

10

]，
故選：C．

點評：本題主要考查線性規(guī)劃的應用，根據(jù)z的幾何意義，利用數(shù)形結合是解決本題的關鍵．