Question

已知f（x）=|x-a|．
（1）若a=1，作出f（x）的圖象；
（2）當(dāng)x∈[1，2]，求f（x）的最小值；
（3）若g（x）=2x²+（x-a）|x-a|，求函數(shù)的最小值．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=|x-1|，作出其圖象即可；
（2）對(duì)a分a∈（-∞，1），a∈[1，2]，a∈（2，+∞）三種情況討論，再結(jié)合在相應(yīng)區(qū)間上的單調(diào)性即可求得x∈[1，2]時(shí)f（x）的最小值；
（3）為了去掉絕對(duì)值符號(hào)，可分x≥a與x≤a兩種情況討論，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求函數(shù)的最小值．

解答：解：（1）因?yàn)閍=1，作圖如下（2分）
（2）①當(dāng)a∈（-∞，1）時(shí)，f（x）=|x-a|=x-a，
因?yàn)閒（x）在[1，2]遞增，
所以f（x）_min=f（1）=1-a；----------（4分）
②當(dāng)a∈[1，2]時(shí)，當(dāng)x=a時(shí)，f（x）_min=0
③當(dāng)a∈（2，+∞）時(shí)，f（x）=|x-a|=a-x，
因?yàn)閒（x）在[1，2]遞減，
所以f（x）_min=f（2）=a-2----------（6分）
綜上所述f(x)=

1-a，a＜1 0，1≤a≤2 a-2，a＞2

----------（8分）
（3）①當(dāng)x≥a時(shí)，f（x）=3x²-2ax+a²=3(x-

a

3

)2+

2

3

a²，
∴若a≥0，f（x）在[a，+∞）上單調(diào)遞增，f（x）_min=f（a）=2a²；
若a＜0，f（x）在[

a

3

，+∞）上單調(diào)遞增，f（x）_min=f（

a

3

）=

2

3

a²；
②當(dāng)x≤a時(shí)，f（x）=x²+2ax-a²=（x+a）²-2a²，
若a≥0，f（x）在（-∞，-a]上單調(diào)遞減[-a，a）上單調(diào)遞增，f（x）_min=f（-a）=-2a²；
若a＜0，f（x）在（-∞，a]上單調(diào)遞減，f（x）_min=f（a）=2a²；
綜上f(x)min=

-2a2，a≥0 2a2 3 ，a＜0

----------（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查帶絕對(duì)值的函數(shù)，關(guān)鍵在于去掉函數(shù)式中的絕對(duì)值符號(hào)，方法是分類討論，重點(diǎn)考查分類討論思想與轉(zhuǎn)化的思想，難點(diǎn)在于對(duì)含參數(shù)的二次函數(shù)的最值的研究，屬于難題．