設(shè)點(diǎn)A,B是橢圓C:x2+4y2=8上的兩點(diǎn),且|AB|=2,點(diǎn)F為橢圓C的右焦點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn).
(Ⅰ)若
OF
AB
=0
,且點(diǎn)A在第一象限,求點(diǎn)A的坐標(biāo);
(Ⅱ)求△AOB面積的最小值.
分析:(Ⅰ)由
OF
AB
=0
,知
OF
AB
,可判斷點(diǎn)A、B關(guān)于x軸對(duì)稱,由|AB|=2可得點(diǎn)A縱坐標(biāo),代入橢圓方程可得其橫坐標(biāo);
(Ⅱ)設(shè)直線AB的方程為:y=mx+n,由
y=mx+n
x2+4y2=8
,得(1+4m2)x2+8mnx+4n2-8=0,利用韋達(dá)定理即弦長(zhǎng)公式可得m,n的方程①,由點(diǎn)到直線的距離公式可得點(diǎn)P到直線AB的距離d,代入①消掉n可得d關(guān)于m的表達(dá)式,由此可得其最小值,則△AOB面積S=d,可得其最小值;
解答:解:(Ⅰ)由
OF
AB
=0
,知
OF
AB
,
又|AB|=2,點(diǎn)A在第一象限,
所以點(diǎn)A、B關(guān)于x軸對(duì)稱,可設(shè)A(x,1)(x>0),
代入橢圓方程得,x2+4=8,解得x=2,
所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,1);
(Ⅱ)設(shè)直線AB的方程為:y=mx+n,
y=mx+n
x2+4y2=8
,得(1+4m2)x2+8mnx+4n2-8=0,
△=64m2n2-4(1+4m2)(4n2-8)>0,即8m2-n2+2>0,
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
則x1+x2=-
8mn
1+4m2
,x1x2=
4n2-8
1+4m2
,
由|AB|=2,則
1+m2
|x1-x2|=2
,即(1+m2)[(x1+x2)2-4x1x2]=4,
則(1+m2)[
64m2n2
(1+4m2)2
-4
4n2-8
1+4m2
]=4,化簡(jiǎn)得,
16m4+32m2-4n2-4m2n2+7=0①,
點(diǎn)P到直線AB的距離d=
|n|
1+m2
,則n2=d2(1+m2),
代入①,并整理可得4d2=
16m4+32m2+7
(1+m2)2
=16-
9
(1+m2)2
≥16-9=7,當(dāng)m=0時(shí)取等號(hào),
所以d≥
7
2

所以△AOB面積S=
1
2
|AB|•d=d
7
2
,即所求面積的最小值為
7
2
點(diǎn)評(píng):本題考查平面向量的數(shù)量積、三角形的面積公式,考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力、解決問題的能力.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,已知中心在原點(diǎn)O、焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C的離心率為
3
2
,點(diǎn)A、B分別是橢圓C的長(zhǎng)軸、短軸的端點(diǎn),點(diǎn)O到直線AB的距離為
6
5
5

(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)已知點(diǎn)E(3,0),設(shè)點(diǎn)P、Q是橢圓C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),滿足EP⊥EQ,求
EP
QP
的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓C的左、右焦點(diǎn)分別是F1、F2,離心率為
3
2
,過F1且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的線段長(zhǎng)為1;
(Ⅰ)求橢圓C的方程.
(Ⅱ)若A,B,C是橢圓上的三個(gè)點(diǎn),O是坐標(biāo)原點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)B是橢圓C的右頂點(diǎn),且四邊形OABC為菱形時(shí),求此菱形的面積.
(Ⅲ)設(shè)點(diǎn)p是橢圓C上除長(zhǎng)軸端點(diǎn)外的任一點(diǎn),連接PF1、PF2,設(shè)∠F1PF2的角平分線PM交橢圓C的長(zhǎng)軸于點(diǎn)M(m,0),求m的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
過點(diǎn)(0,1),且離心率為
3
2
,A、B為橢圓C的左、右頂點(diǎn).
(1)求橢圓C的方程:
(2)設(shè)點(diǎn)P(x0,y0)是橢圓C上異于A、B的任意一點(diǎn),PH⊥x軸,H為垂足,延長(zhǎng)HP到點(diǎn)Q使得HP=PQ,連結(jié)AQ并延長(zhǎng)交過點(diǎn)B且垂直于x軸的直線l于點(diǎn)D,N為DB的中點(diǎn).
(i)求證:點(diǎn)Q在以AB為直徑的圓O上;
(ii)求證:OQ⊥NQ.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:山東省濟(jì)寧市2012屆高三第一次高考模擬數(shù)學(xué)理科試題 題型:044

已知橢圓C:=1(a>b>0)的離心率為,以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心,橢圓的短半軸為半徑的圓與直線x-y+=0相切.

(Ⅰ)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)P(4,0),A,B是橢圓C上關(guān)于x軸對(duì)稱的任意兩個(gè)不同的點(diǎn),連結(jié)PB交橢圓C與另一點(diǎn)E,證明直線AE與x軸相交于定點(diǎn).

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