Question

將正整數(shù)1，2，3，4，…，n²（n≥2）任意排成n行n列的數(shù)表．對于某一個數(shù)表，計算各行和各列中的任意兩個數(shù)a，b（a＞b）的比值

a

b

，稱這些比值中的最小值為這個數(shù)表的“特征值”．
（1）當(dāng)n=2時，試寫出排成的各個數(shù)表中所有可能的不同“特征值”；
（2）若a_ij表示某個n行n列數(shù)表中第i行第j列的數(shù)（1≤i≤n，1≤j≤n），且滿足aij=

i+(j-i-1)n，i＜j i+(n-i+j-1)n，i≥j

請分別寫出n=3，4，5時數(shù)表的“特征值”，并由此歸納此類數(shù)表的“特征值”（不必證明）；
（3）對于由正整數(shù)1，2，3，4，…，n²排成的n行n列的任意數(shù)表，若某行（或列）中，存在兩個數(shù)屬于集合{n²-n+1，n²-n+2，…，n²}，記其“特征值”為λ，求證：λ≤

n+1

n

．

Answer 1

分析：（1）可設(shè)1在第一行第一列，考慮與1同行或同列的兩個數(shù)的可能，可得特征值；
（2）分別寫出當(dāng)n=3，n=4，n=5時的圖表，由特征值的定義可得答案．
（3）設(shè)a，b（a＞b）為該行（或列）中最大的兩個數(shù)，易得λ≤

a

b

≤

n2

n2-n+1

，作差可證

n2

n2-n+1

＜

n+1

n

，進而可得答案．

解答：證明：（1）顯然，交換任何兩行或兩列，特征值不變．
可設(shè)1在第一行第一列，考慮與1同行或同列的兩個數(shù)只有三種可能，2，3或2，4或3，4．
得到數(shù)表的不同是

3

2

或

4

3

      …（3分）

7	1	4
5	8	2
3	6	9

（2）當(dāng)n=3時，數(shù)表為此時，數(shù)表的“特征值”為 

4

3

   …（4分）

13	1	5	9
10	14	2	6
7	11	15	3
4	8	12	16

當(dāng)n=4時，數(shù)表為此時，數(shù)表的“特征值”為

5

4

．…（5分）

21	1	6	11	16
17	22	2	7	12
13	18	23	3	8
9	14	19	24	4
5	10	15	20	25

當(dāng)n=5時，數(shù)表為此時，數(shù)表的“特征值”為

6

5

．…（6分）
猜想“特征值”為

n+1

n

．…（7分）
（3）設(shè)a，b（a＞b）為該行（或列）中最大的兩個數(shù)，則λ≤

a

b

≤

n2

n2-n+1

，
因為

n2

n2-n+1

-

n+1

n

=

n3-(n3+1)

n(n2-n+1)

=-

1

n(n2-n+1)

＜0
所以

n2

n2-n+1

＜

n+1

n

，從而λ＜

n+1

n

…（13分）

點評：本題考查類比推理和歸納推理，屬基礎(chǔ)題．