Question

已知A={x|1＜log₂x＜3，x∈N^*}，B={x||x-6|＜3，x∈N^*}試問：
（1）從集合A和集合B中各取一個元素作直角坐標(biāo)系中點的坐標(biāo)，共可得到多少個不同的點？
（2）從A∪B中取出三個不同的元素組成三位數(shù)，從左到右的數(shù)字要逐漸增大，這樣的三位數(shù)有多少個？
（3）從集合A中取出一個元素，從集合B中取出三個元素，可以組成多少個無重復(fù)數(shù)字且比4000大的自然數(shù)？

Answer 1

分析：（1）A中的元素作為橫標(biāo)，B中的元素作為縱標(biāo)，有5×5=25種結(jié)果，兩個集合中的元素有三個相同，這幾個就不用橫標(biāo)和縱標(biāo)交換位置，當(dāng)橫標(biāo)是8時，共有5種結(jié)果，減去重復(fù)的情況，得到結(jié)果
（2）取出三個不同的元素組成三位數(shù)，從左到右的數(shù)字要逐漸增大，這樣就是一個從6個數(shù)字中取3個數(shù)字的一個組合，三個數(shù)字取出后，大小順序是確定的一種情況．
（3）本題是一個分類計數(shù)問題，當(dāng)A中取3的有：C₅³A₃¹A₃³，當(dāng)A中不取3的有：A₅⁴，根據(jù)分類計數(shù)原理知共有共300個．

解答：解：∵A={x|1＜log₂x＜3，x∈N^*}={3，4，5，6，7}，
B={x||x-6|＜3，x∈N^*}={4，5，6，7，8}
（1）從坐標(biāo)系中各取一個元素，作為直角坐標(biāo)系中點的坐標(biāo)，
A中的元素作為橫標(biāo)，B中的元素作為縱標(biāo)，有5×5=25種結(jié)果，
兩個集合中的元素有四個相同，這幾個就不用橫標(biāo)和縱標(biāo)交換位置，排除四個，
根據(jù)分類計數(shù)原理知，共有5×5-4=21（個）
（2）∵A∪B={3，4，5，6，7，8}，
∴取出三個不同的元素組成三位數(shù)，從左到右的數(shù)字要逐漸增大，
這樣就是一個從6個數(shù)字中取3個數(shù)字的一個組合，共有C₆³=20
（3）由題意知本題是一個分類計數(shù)問題，
要組成比4000大的數(shù)字，
當(dāng)A中取3的有：C₅³A₃¹A₃³=180； 
當(dāng)A中不取3的有：A₅⁴=120．
根據(jù)分類計數(shù)原理知共有共300個．

點評：本題考查排列組合的實際應(yīng)用，本題解題的關(guān)鍵是注意解題時做到不重不漏，第一問注意去掉橫標(biāo)和縱標(biāo)交換以后重復(fù)的情況，本題是一個中檔題目，也是一個易錯題．