Question

（2012•青島二模）已知集合A={x|x=-2n-1，n∈N^*}，B={x|x=-6n+3，n∈N^*}，設S_n是等差數列{a_n}的前n項和，若{a_n}的任一項a_n∈A∩B，且首項a₁是A∩B中的最大數，-750＜S₁₀＜-300．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若數列{b_n}滿足bn=(

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)an+13n-9，求a₁b₂-b₂a₃+a₃b₄-b₄a₅+…+a_2n-1b_2n-b_2na_2n+1的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題設知：集合A中所有元素可以組成以-3為首項，-2為公差的遞減等差數列；集合B中所有的元素可以組成以-3為首項，-6為公差的遞減等差數列，進而確定a₁=-3，d=-12，從而可得數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）求出數列{b_n}的通項，進而分組，再利用等比數列的求和公式求和即可．

解答：解：（Ⅰ）由題設知：集合A中所有元素可以組成以-3為首項，-2為公差的遞減等差數列；集合B中所有的元素可以組成以-3為首項，-6為公差的遞減等差數列．
由此可得，對任意的n∈N^*，有A∩B=B，A∩B中的最大數為-3，即a₁=-3…（3分）
設等差數列{a_n}的公差為d，則a_n=-3+（n-1）d，S10=

10(a1+a10)

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=45d-30
因為-750＜S₁₀＜-300，∴-750＜45d-30＜-300，即-16＜d＜-6
由于B中所有的元素可以組成以-3為首項，-6為公差的遞減等差數列，
所以d=-6m（m∈Z，m≠0），由-16＜-6m＜-6，所以m=2，所以d=-12
所以數列{a_n}的通項公式為a_n=9-12n（n∈N^*） …（8分）
（Ⅱ）bn=(

2

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)an+13n-9=(

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)n…（9分）
于是有a₁b₂-b₂a₃+a₃b₄-b₄a₅+…+a_2n-1b_2n-b_2na_2n+1=b₂（a₁-a₃）+b₄（a₃-a₅）+b₆（a₅-a₇）+…+b_2n（a_2n-1-a_2n+1）
=24(b2+b4+b6+…+b2n)=24×

1 2 [1-( 1 2 )n]

1- 1 2

=24(1-

1

2n

)…（12分）

點評：本題考查數列的通項與求和，確定數列的首項與公差，正確運用數列的求和方法是關鍵．