【題目】已知函數f(x)=x3(a2+a+2)x2+a2(a+2)x,a∈R.
(1)當a=1時,求函數y=f(x)的單調區(qū)間;
(2)求函數y=f(x)的極值點.
【答案】(1)遞增區(qū)間為(-∞,+∞);(2)見解析
【解析】
(1)先求解導數,利用導數取值的正負可得單調區(qū)間;
(2)先求解導數,結合導數零點情況判斷函數極值點的情況.
(1)當a=1時,.∵=x22x+1=(x1)2≥0,
故函數在R內為增函數,單調遞增區(qū)間為(-∞,+∞).
(2)∵=x2(a2+a+2)x+a2(a+2)=(xa2)[x(a+2)],
①當a=1或a=2時,a2=a+2,∵≥0恒成立,函數為增函數,無極值;
②當a<1或a>2時,a2>a+2,
可得當x∈(∞,a+2)時,>0,函數為增函數;
當x∈(a+2,a2)時,<0,函數為減函數;
當x∈(a2,+∞)時,>0,函數為增函數.
當x=a+2時,函數有極大值f(a+2),當x=a2時,函數有極小值f(a2).
③當1<a<2時,a2<a+2.
可得當x∈(-∞,a2)時,>0,函數為增函數;
當x∈(a2,a+2)時,<0,函數為減函數;
當x∈(a+2,+∞)時,>0,函數為增函數.
當x=a+2時,函數有極小值f(a+2);當x=a2時,函數有極大值f(a2).
綜上可得:當a=1或a=2時,函數無極值點;當a<1或a>2時,函數有極大值點a+2,函數有極小值點a2;當1<a<2時,函數有極大值點a2,函數有極小值點a+2.
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【題目】已知點在橢圓上,直線與x,y軸分別交于A,B兩點,0為坐標原點,且△OAB 的面積的最小值為
(1)求橢圓的離心率;
(2) 設點C、D、F2分別為橢圓的上、下頂點以及右焦點,E 為線段OD 的中點,直線F2E 與橢圓 相交于M、N 兩點,若,求橢圓的方程.
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【題目】已知曲線Cn:x2﹣2nx+y2=0,(n=1,2,…).從點P(﹣1,0)向曲線Cn引斜率為kn(kn>0)的切線ln,切點為Pn(xn,yn).
(1)求數列{xn}與{yn}的通項公式;
(2)證明:.
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【題目】朱世杰是元代著名數學家,他所著《算學啟蒙》是一部在中國乃至世界最早的科學普及著作.《算學啟蒙》中提到一些堆垛問題,如“三角垛果子”,就是將一樣大小的果子堆垛成正三棱錐,每層皆堆成正三角形,從上向下數,每層果子數分別為1,3,6,10,…,現有一個“三角垛果子”,其最底層每邊果子數為10,則該層果子數為( )
A. 50B. 55C. 100D. 110
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【題目】已知橢圓:的長軸長為4,左、右頂點分別為,經過點的動直線與橢圓相交于不同的兩點(不與點重合).
(1)求橢圓的方程及離心率;
(2)求四邊形面積的最大值;
(3)若直線與直線相交于點,判斷點是否位于一條定直線上?若是,寫出該直線的方程. (結論不要求證明)
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【題目】在直角坐標系中,曲線與x軸交于A,B兩點,點Q的坐標為.
(1)是否存在b,使得,如果存在求出b值;如果不存在,說明理由;
(2)過A,B,Q三點的圓面積最小時,求圓的方程.
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【題目】已知橢圓的長軸長為6,離心率為.
(1)求橢圓C的標準方程;
(2)設橢圓C的左、右焦點分別為,,左、右頂點分別為A,B,點M,N為橢圓C上位于x軸上方的兩點,且,記直線AM,BN的斜率分別為,且,求直線的方程.
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