Question

【題目】已知橢圓的四個頂點(diǎn)組成的四邊形的面積為，且經(jīng)過點(diǎn)．

（1）求橢圓的方程；

（2）若橢圓的下頂點(diǎn)為，如圖所示，點(diǎn)為直線上的一個動點(diǎn)，過橢圓的右焦點(diǎn)的直線垂直于，且與交于兩點(diǎn)，與交于點(diǎn)，四邊形和的面積分別為．求的最大值．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

試題分析：（1）由橢圓幾何條件得橢圓四個頂點(diǎn)組成的四邊形為菱形，其面積為，又在橢圓上，所以，解方程組得（2）先確定面積計算方法：，，再確定計算方向：設(shè)根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式求OM，根據(jù)兩直線交點(diǎn)求N點(diǎn)橫坐標(biāo)，再根據(jù)直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組，結(jié)合韋達(dá)定理求弦長AB，最后根據(jù)表達(dá)式形式，確定求最值方法（基本不等式求最值）

試題解析：（1）因?yàn)?/span>在橢圓上，所以，

又因?yàn)闄E圓四個頂點(diǎn)組成的四邊形的面積為，所以，

解得，所以橢圓的方程為．

（2）由（1）可知，設(shè)，

則當(dāng)時，，所以，

直線的方程為，即，

由得，

則，

，

，

又，所以，

由，得，所以，

所以，

當(dāng)時，直線，

所以當(dāng)時，．