Question

已知x₁，x₂是關(guān)于x的一元二次方程x²+ax+2b=0的兩個實(shí)數(shù)根，且x₁∈（0，1），x₂∈（1，2）．則

b-2

a-1

的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：簡單線性規(guī)劃,函數(shù)的零點(diǎn)

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：利用二次方程根的分布，建立不等式關(guān)系，利用線性規(guī)劃以及

b-2

a-1

的幾何意義求

b-2

a-1

的取值范圍．

解答： 解；∵x₁，x₂是關(guān)于x的一元二次方程x²+ax+2b=0的兩個實(shí)數(shù)根，
∴設(shè)函數(shù)f（x）=x²+ax+2b，
∵x₁∈（0，1），x₂∈（1，2）．
∴

f(0)＞0 f(1)＜0 f(2)＞0

，即

2b＞0 a+2b+1＜0 2a+2b+4＞0

，
作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：
設(shè)z=

b-2

a-1

，則z的幾何意義是區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)P（a，b）到定點(diǎn)A（1，2）兩點(diǎn)之間斜率的取值范圍，
由圖象可知當(dāng)P位于點(diǎn)B（-3，1）時，直線AB的斜率最小，此時k AB=

1-2

-3-1

=

1

4

，
可知當(dāng)P位于點(diǎn)D（-1，0）時，直線AD的斜率最大，此時kAD=

0-2

-1-1

=1，
∴

1

4

＜z＜1，
則

b-2

a-1

的取值范圍是(

1

4

，1)．
故答案為：(

1

4

，1)．

點(diǎn)評：本題主要考查二次方程根的分布，將二次方程轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，然后利用線性規(guī)劃求出目標(biāo)函數(shù)的取值范圍，注意目標(biāo)函數(shù)的幾何意義．