Question

討論函數(shù)f（x）=

1

2

cos（2x-2a）+cos²a-2cos（x-a）•cosx•cosa的周期、最值、奇偶性及單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)的周期性及其求法,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：利用三角函數(shù)的恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)的及誒小時(shí)為f（x）=-

1

2

cos2x，由此求得函數(shù)的周期、最大值、最小值、奇偶性，再利用函數(shù)的單調(diào)性和y=cos2x的單調(diào)性相反，求得此函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

解答： 解：函數(shù)f（x）=

1

2

cos（2x-2a）+cos²a-2cos（x-a）•cosx•cosa
=

1

2

[2cos²（x-a）-1]+

1+cos2a

2

-2cos（x-a）•

1

2

[cos（x-a）+cos（x+a）]
=cos²（x-a）+

1

2

cos2a-cos²（x-a）-cos（x-a）•cos（x+a）
=

1

2

cos2a-

1

2

[cos2a+cos2x]=-

1

2

cos2x，
故函數(shù)的周期為

2π

2

=π，最大值為

1

2

，最小值為-

1

2

．
根據(jù)余弦函數(shù)的奇偶性可得此函數(shù)為偶函數(shù)．
由于函數(shù)的單調(diào)性和y=cos2x的單調(diào)性相反，
令2kπ-π≤2x≤2kπ，k∈z，求得 kπ-

π

2

≤x≤kπ，可得函數(shù)減區(qū)間為[kπ-

π

2

，kπ]，k∈z．
令2kπ≤2x≤2kπ+π，k∈z，求得 kπ≤x≤kπ+

π

2

，可得函數(shù)增區(qū)間為[kπ，kπ+

π

2

]，k∈z．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡(jiǎn)求值，三角函數(shù)的周期性、單調(diào)性、最值、奇偶性，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．