Question

一個(gè)三角形數(shù)表按如下方式構(gòu)成：第一行依次寫上n（n≥4）個(gè)數(shù)，在上一行的每相鄰兩數(shù)的中間正下方寫上這兩數(shù)之和，得到下一行，依此類推．記數(shù)表中第i行的第j個(gè)數(shù)為f（i，j）．
（1）若數(shù)表中第i （1≤i≤n-3）行的數(shù)依次成等差數(shù)列，
求證：第i+1行的數(shù)也依次成等差數(shù)列；
（2）已知f（1，j）=4j，求f（i，1）關(guān)于i的表達(dá)式；
（3）在（2）的條件下，若f（i，1）=（i+1）（a_i-1），b_i=，試求一個(gè)函數(shù)f（x），使得S_n=b₁g（1）+b₂g（2）+…+b_ng（n）＜，且對(duì)于任意的m∈（，），均存在實(shí)數(shù)λ?，使得當(dāng)n＞?λ時(shí)，都有S_n＞m．

Answer 1

【答案】分析：（1）易知數(shù)表中第i+1行的數(shù)依次所組成數(shù)列的通項(xiàng)為f（i+1，j），再由等差數(shù)列定義證明；
（2）f（1，j）=4j由（1）知，第2行的數(shù)也依次成等差數(shù)列，依此類推可求解；
（3）由f（i，1）=（i+1）（a_i-1），可得a_i進(jìn)而求得b_i，令g（i）=2ⁱ，求得s_n放縮探求．
解答：解：（1）數(shù)表中第i+1行的數(shù)依次所組成數(shù)列的通項(xiàng)為f（i+1，j），
則由題意可得f（i+1，j+1）-f（i+1，j）
=[f（i，j+1）+f（i，j+2）]-[f（i，j）+f（i，j+1）]
=f（i，j+2）-f（i，j）=2d（其中d為第i行數(shù)所組成的數(shù)列的公差）（4分）

（2）∵f（1，j）=4j
∴第一行的數(shù)依次成等差數(shù)列，
由（1）知，第2行的數(shù)也依次成等差數(shù)列，依此類推，
可知數(shù)表中任一行的數(shù)（不少于3個(gè)）都依次成等差數(shù)列．
設(shè)第i行的數(shù)公差為d_i，則d_i+1=2d_i，則d_i=d₁×2^i-1=4×2^i-1=2ⁱ⁺¹
所以f（i，1）=f（i-1，1）+f（i-1，2）=2f（i-1，1）+2ⁱ
=2[2f（i-2，1）+2^i-1]+2ⁱ=2²f（i-2，1）+2×2ⁱ
=2^i-1f（1，1）+（i-1）×2ⁱ=2^i-1×4+（i-1）×2ⁱ=2ⁱ⁺¹+（i-1）×2ⁱ=（i+1）×2ⁱ（10分）

（3）由f（i，1）=（i+1）（a_i-1），可得
所以==
令g（i）=2ⁱ，則，所以
要使得S_n＞m，即，只要=，
∵，∴，所以只要，
即只要，所以可以令
則當(dāng)n＞λ時(shí)，都有S_n＞m．所以適合題設(shè)的一個(gè)函數(shù)為g（x）=2^x（16分）
點(diǎn)評(píng)：本題通過數(shù)表考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及定義．