Question

【題目】平面內(nèi)有兩個(gè)定點(diǎn)A（1，0），B（1，﹣2），設(shè)點(diǎn)P到A、B的距離分別為，且

（I）求點(diǎn)P的軌跡C的方程；

（II）是否存在過(guò)點(diǎn)A的直線與軌跡C相交于E、F兩點(diǎn)，滿足（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．若存在，求出直線的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（II）存在過(guò)點(diǎn)A的直線：x=1，理由見(jiàn)解析．

【解析】試題分析：（1）設(shè)點(diǎn) 坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間距離公式及題中給出的等式可求得的軌跡方程。（2）分兩種情況討論：一、斜率不存在；二、斜率存在。當(dāng)斜率不存在時(shí)，很容易求得三角形面積，滿足題中條件；當(dāng)斜率存在時(shí)，可設(shè)直線方程，可求得 的長(zhǎng)度，及 到的距離，利用三角形面積為 可求得直線的斜率，得直線方程。

（Ⅰ）設(shè)P（x，y），

則，d2=，

∵，∴=，

整理得： ,

∴點(diǎn)P的軌跡C的方程為 ．

（II）存在過(guò)點(diǎn)A的直線，與軌跡C相交于E，F兩點(diǎn)，且使三角形S△OEF．

理由如下：

①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為x=1，

直線過(guò)圓心， ， 點(diǎn)到直線的距離為1，

此時(shí)，，所以成立．

②當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)方程為：．

點(diǎn)到的距離，利用勾股定理，得：

．

點(diǎn)到的距離，

，

整理得，無(wú)解．所以直線斜率存在時(shí)滿足題意的直線不存在．

綜上，存在過(guò)點(diǎn)A的直線：x=1，滿足題意．