Question

（2012•廣東模擬）如圖，四邊形ABCD中（圖1），E是BC的中點，DB=2，DC=1，BC=

5

，AB=AD=

2

．將（圖1）沿直線BD折起，使二面角A-BD-C為60°（如圖2）
（1）求證：AE⊥平面BDC；
（2）求異面直線AB與CD所成角的余弦值；
（3）求點B到平面ACD的距離．

Answer 1

分析：（1）取BD中點M，連接AM，ME．因AB=AD=

2

，故AM⊥BD，因 DB=2，DC=1，BC=

5

滿足：DB²+DC²=BC²，所以△BCD是BC為斜邊的直角三角形，BD⊥DC，因E是BC的中點，所以ME為△BCD的中位線ME

∥ .

.

1

2

CD，由此能夠證明AE⊥平面BDC．
（2）以M為原點MB為x軸，ME為y軸，建立空間直角坐標系由B（1，0，0），E(0，

1

2

，0)，A(0，

1

2

，

3

2

)，D（-1，0，0），C（-1，1，0），知

AB

=(1，-

1

2

，-

3

2

)，

CD

=(0，-1，0)，由此能法度出異面直線AB與CD所成角．
（3）由

AD

=(-1，-

1

2

，-

3

2

)，

CD

=(0，-1，0)，知

n

=(

3

，0，-2)滿足，

n

•

AD

=0，

n

•

CD

=0，

n

是平面ACD的一個法向量，由此能求出點B到平面ACD的距離．

解答：解：（1）如圖1取BD中點M，連接AM，ME．因AB=AD=

2

．
∴AM⊥BD（3）…（1分）
因 DB=2，DC=1，BC=

5

滿足：DB²+DC²=BC²，
所以△BCD是BC為斜邊的直角三角形，BD⊥DC，
因E是BC的中點，所以ME為△BCD的中位線ME

∥ .

.

1

2

CD，
∴ME⊥BD，ME=

1

2

…（2分）
∴∠AME是二面角A-BD-C的平面角，
∴∠AME=60°…（3分）
∵AM⊥BD，ME⊥BD且AM、ME是平面AME內(nèi)兩相交于M的直線
∴BD⊥平面AEM∵AE?平面AEM，
∴BD⊥AE…（4分）
因AB=AD=

2

．，DB=2，
∴△ABD為等腰直角三角形，
∴AM=

1

2

BD=1，AE2=AM2+ME2-2AM•ME•cos∠AME=1+

1

4

-2×1×

1

2

×cos60°=

3

4

∴AE=

3

2

∴AE²+ME²=1=AM²，
∴AE⊥ME…（6分）
∴BD∩ME，BD?面BDC，ME?面BDC，
∴AE⊥平面BDC…（7分）
（2）如圖2，以M為原點MB為x軸，ME為y軸，建立空間直角坐標系，（8分）
則由（1）及已知條件可知B（1，0，0），E(0，

1

2

，0)，A(0，

1

2

，

3

2

)，
D（-1，0，0），C（-1，1，0），

AB

=(1，-

1

2

，-

3

2

)，

CD

=(0，-1，0)，…（9分）
設(shè)異面直線AB與CD所成角為θ，
則cosθ=|

AB • CD

|AB| •| CD |

|…（10分）
=

1 2

2 ×1

=

2

4

．…（11分）
（3）由

AD

=(-1，-

1

2

，-

3

2

)，

CD

=(0，-1，0)，
可知

n

=(

3

，0，-2)滿足，

n

•

AD

=0，

n

•

CD

=0，

n

是平面ACD的一個法向量，…（12分）
記點B到平面ACD的距離d，
則

AB

在法向量

n

方向上的投影絕對值為d
則d=|

AB • n

| n |

|…（13分），
所以d=|

3 +0+ 3

( 3 )2+0+(-2)2

|=

2 21

7

…（14分）

點評：本題考查直線和平面垂直的證明，求異面直線與直線所成角的余弦值，求點到平面的距離．解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．