Question

函數(shù)．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調遞減區(qū)間；
（Ⅱ）將y=f（x）的圖象向左平移個單位，再將得到的圖象的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標不變）后得到的y=g（x）的圖象．若y=g（x）（x＞0）的圖象與直線交點的橫坐標由小到大依次是x₁，x₂，…，x_n，…，求數(shù)列{x_n}的前2n項和S_2n．

Answer 1

解：（Ⅰ）函數(shù)=sin（2x-）
由≤2x-≤，可得≤x≤（k∈Z）
∴函數(shù)f（x）的單調遞減區(qū)間為[，]（k∈Z）；
（Ⅱ）y=f（x）的圖象向左平移個單位，得到y(tǒng)=sin2x，再將得到的圖象的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標不變）后得到函數(shù)y=sinx的圖象，即g（x）=sinx，
若函數(shù)g（x）=sinx（x＞0）的圖象與直線交點的橫坐標由小到大依次是x₁，x₂，…，x_n，
則由正弦曲線的對稱性，周期性得：=，=2π+，…，=2（n-1）π+，
所以x₁+x₂+…+x_2n-1+x_2n=（x₁+x₂）+（x₃+x₄）+…+（x_2n-1+x_2n）=3π+7π+11π+…+（4n-1）π=（2n²+n）π
分析：（Ⅰ）先根據(jù)二倍角公式以及兩角和的正弦公式對所給函數(shù)進行整理，再結合正弦函數(shù)的單調性以及整體代入思想即可求出f（x）的單調遞減區(qū)間；
（Ⅱ）先根據(jù)圖象的平移規(guī)律得到函數(shù)y=g（x）（x＞0）的圖象；再結合正弦曲線的對稱性，周期性求出相鄰兩項的和及其規(guī)律，最后結合等差數(shù)列的求和公式即可得到結論．
點評：本題是對三角函數(shù)單調性，對稱性，周期性以及公式的綜合考查，解決問題的關鍵在于根據(jù)二倍角公式以及兩角和的正弦公式對所給函數(shù)進行整理，屬于中檔題．