Question

如圖，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D是BC的中點．
（1）求證：AD⊥DC₁；
（2）如果E是B₁C₁的中點，求證：A₁E∥平面ADC₁．

Answer 1

證明：（1）在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，C₁C⊥平面ABC，AD?平面ABC，
∴C₁C⊥AD，
又AD⊥C₁D，C₁C∩C₁D=C₁，
∴AD⊥平面BCC₁B₁．
∵DC₁?平面BCC₁B₁．
∴AD⊥DC₁；（6分）
（2）由（1）得∴AD⊥BC，
∵在△ABC中，AB=AC，
∴D為BC邊上的中點，（9分）
連接DE，∵點E是B₁C₁的中點，
∴在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，四邊形B₁BDE為平行四邊形，
∴B₁BED，又B₁B A₁A，∴ED A₁A，∴四邊形A₁ADE為平行四邊形．（12分）
∴A₁E∥AD，又A₁E?平面ADC₁，AD?平面ADC₁，
∴A₁E∥平面ADC₁．（14分）
分析：（1）根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可知只需證AD與平面BCC₁B₁內兩相交直線垂直，而C₁C⊥AD，又AD⊥C₁D，C₁C∩C₁D=C₁，滿足定理條件；即可證明AD⊥平面BCC₁B₁，
（2）通過（1）AD⊥BC，D為BC邊上的中點，連接DE，而點E是B₁C₁的中點，則四邊形B₁BDE為平行四邊形，可證四邊形A₁ADE為平行四邊形，從而A₁E∥AD，又A₁E?平面ADC₁，AD?平面ADC₁，根據(jù)線面平行的判定定理可知A₁E∥平面ADC₁．
點評：本小題主要考查直線與平面垂直的判定，以及直線與平面平行的判定，考查空間想象能力和推理論證能力，屬于中檔題．