Question

已知函數．

（1）若，求函數的極小值；

（2）設函數，試問：在定義域內是否存在三個不同的自變量使得的值相等，若存在，請求出的范圍，若不存在，請說明理由？

 

Answer 1

（1）極小值為2；（2）不存在，詳見解析．

【解析】

試題分析：（1）由a=4，得函數f（x）的解析式，求出其導函數以及導數為0的根，通過比較兩根的大小找到函數的單調區(qū)間，進而求出f（x）的極小值；（2）若定義域內存在三個不同的自變量的取值xi（i=1，2，3），使得f（xi）-g（xi）的值恰好都相等，設f（xi）-g（xi）=m．（i=1，2，3），則對于某一實數m，方程f（x）-g（x）=m在（0，+∞）上有三個不等的實數，由此能求出在定義域內不存在三個不同的自變量的取值xi（i=1，2，3）使得f（xi）-g（xi）的值恰好都相等．

【解析】
（1）定義域為，由已知得， 2分

則當時， 在上是減函數，

當時， 在上是增函數，

故函數的極小值為． 6分

（2）若存在，設，

則對于某一實數方程在上有三個不等的實根，

設，

則函數的圖象與x軸有三個不同交點，

即在有兩個不同的零點．9分

顯然在上至多只有一個零點

則函數的圖象與x軸至多有兩個不同交點，則這樣的不存在。 13分

考點：1．函數在某點取得極值的條件；2．根的存在性及根的個數判斷．