Question

設(shè)A=[-1，1]，B=[-，]，函數(shù)f（x）=2x²+mx-1．
（1）設(shè)不等式f（x）≤0的解集為C，當(dāng)C⊆（A∪B）時，求實數(shù)m取值范圍；
（2）若對任意x∈R，都有f（1+x）=f（1-x）成立，試求x∈B時，f（x）的值域；
（3）設(shè)g（x）=|x-a|-x²-mx（a∈R），求f（x）+g（x）的最小值．

Answer 1

解：（1）∵A=[-1，1]，B=[-，]，C⊆A∪B=A，二次函數(shù)f（x）=2x²+mx-1圖象開口向上，且△=m²+8＞0恒成立，
故圖象始終與x軸有兩個交點，由題意，要使這兩個交點橫坐標(biāo)x₁，x₂∈[-1，1]，當(dāng)且僅當(dāng)：，…（4分），解得：-1≤m≤1 …（5分）
（2）對任意x∈R都有f（1+x）=f（1-x），所以f（x）象關(guān)于直線x=1對稱，所以-=1，得m=-4．（7分）
所以f（x）=2（x-1）²-3為[-，]上減函數(shù)．f（x）_min=-2；f（x）_max=2．故x∈B時，f（x）值域為[-2，2]．…（9分）
（3）令φ（x）=f（x）+g（x），則φ（x）=x²+|x-a|-1，
（i）當(dāng)x≤a時，φ（x）=x²-x+a-1=+a-，
當(dāng)a≤，則函數(shù)φ（x）在（-∞，a]上單調(diào)遞減，從而函數(shù)φ（x）在（-∞，a]上的最小值為φ（a）=a²-1．
若a＞，則函數(shù)φ（x）在（-∞，a]上的最小值為φ（）=-+a，且φ（-）≤φ（a）．（12分）
（ii）當(dāng)x≥a時，函數(shù)φ（x）=x²+x-a-1=-a-，
若a≤-，則函數(shù)φ（x）在（-∞，a]上的最小值為φ（-）=--a，且φ（-）≤φ（a），
若a＞-，則函數(shù)φ（x）在[a，+∞）上單調(diào)遞增，
從而函數(shù)φ（x）在[a，+∞）上的最小值為φ（a）=a²-1．…（15分）
綜上，當(dāng)a≤-時，函數(shù)φ（x）的最小值為--a，當(dāng)-＜a≤時，函數(shù)φ（x）的最小值為a²-1；當(dāng)a＞時，函數(shù)φ（x）的最小值為-+a． …（16分）
分析：（1）依題意，C⊆A∪B=A=[-1，1]，二次函數(shù)f（x）=2x²+mx-1圖象開口向上，且△=m²+8＞0恒成立，圖象始終與x軸有兩個交點?，從而可求得實數(shù)m取值范圍；
（2）由于f（x）象關(guān)于直線x=1對稱，可得m=-4，由f（x）=2（x-1）²-3為[-，]上減函數(shù)可求得x∈B時，f（x）的值域；
（3）令φ（x）=f（x）+g（x），則φ（x）=x²+|x-a|-1，分x≤a與x≥a先去掉絕對值符號，再根據(jù)其對稱軸對a分類討論，利用函數(shù)的單調(diào)性即可求得答案．
點評：本題考查帶絕對值的函數(shù)，考查集合關(guān)系中的參數(shù)取值問題，突出考查二次函數(shù)的性質(zhì)，考查綜合分析與運算能力，考查分類討論思想，化歸思想，方程思想的運用，屬于難題．