Question

已知函數(shù)f（x）=

1

ex

-

a

x

（a∈R）．若存在實(shí)數(shù)m，n，使得f（x）≥0的解集恰為[m，n]，則a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：分別討論a的取值范圍，利用參數(shù)分離法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值即可得到結(jié)論．

解答： 解：當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=

1

ex

-

a

x

=

1

ex

＞0，則不存在f（x）≥0的解集恰為[m，n]，
當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）=

1

ex

-

a

x

＞0，此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，則不存在f（x）≥0的解集恰為[m，n]，
當(dāng)a＞0時(shí)，由f（x）≥0得

1

ex

≥

a

x

，
當(dāng)x＜0，

1

ex

＞0，

a

x

＜0，此時(shí)（x）=

1

ex

-

a

x

＞0，則f（x）≥0的解集為（-∞，0），不滿足條件，
當(dāng)x＞0時(shí)，不等式等價(jià)為a≤

x

ex

，
設(shè)g（x）=

x

ex

，
則g′(x)=

ex-xex

(ex)2

=

1-x

ex

，
當(dāng)x＞1時(shí)，g′（x）＜0，
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，g′（x）＞0，
即當(dāng)x=1時(shí)，g（x）取得極大值，同時(shí)也是最大值g（1）=

1

e

，
∴若存在實(shí)數(shù)m，n，使得f（x）≥0的解集恰為[m，n]，
則必有a＜

1

e

，
即0＜a＜

1

e

，
故答案為：（0，

1

e

）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，綜合性較強(qiáng)，難度較大．