已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形,側(cè)面ABB1A1是邊長(zhǎng)為2的菱形,且∠A1AB=60°,M是AB的中點(diǎn),MA1⊥AC.
(1)求證:MA1⊥平面ABC;
(2)求點(diǎn)M到平面AA1C1C的距離.
分析:(1)證明A1M⊥AB,A1M⊥AC,利用線面垂直的判定,可得A1M⊥平面ABC;
(2)作ME⊥AC于E,連接A1E,作MO⊥A1E于O,證明MO⊥面A1ACC1,于是MO即為所求.
解答:(1)證明:∵側(cè)面ABB1A1是菱形,且∠A1AB=60°,∴△A1AB為正三角形.
又∵點(diǎn)M為AB的中點(diǎn),∴A1M⊥AB,
由已知A1M⊥AC,∴A1M⊥平面ABC.(4分)
(2)解:作ME⊥AC于E,連接A1E,作MO⊥A1E于O,
由已知A1M⊥AC,又∵M(jìn)E⊥AC,∴AC⊥面A1ME,由MO?面A1ME,得AC⊥MO,
∵M(jìn)O⊥A1E,且A1E?面A1ACC1,A1E∩AC=E,∴MO⊥面A1ACC1,
于是MO即為所求,(8分)
∵菱形ABB1A1邊長(zhǎng)為2,∴ME=
3
2
,A1M=
3
A1E=
15
2
,
MO=
15
5
.(12分)
點(diǎn)評(píng):本題考查線面垂直,考查點(diǎn)到面的距離的計(jì)算,正確運(yùn)用線面垂直的判定是關(guān)鍵.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)面BB1C1C是邊長(zhǎng)為2的菱形,∠B1BC=60°,側(cè)面BB1C1C⊥底面ABC,∠ABC=90°,二面角A-B1B-C為30°.
(1)求證:AC⊥平面BB1C1C;
(2)求AB1與平面BB1C1C所成角的正切值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)面BB1C1C與底面ABC垂直,BB1=BC,∠B1BC=60°,AB=AC,M是B1C1的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:AB1∥平面A1CM;
(Ⅱ)若AB1與平面BB1C1C所成的角為45°,求二面角B-AC-B1的大。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長(zhǎng)AB=2,BC=3,BC⊥面ABC1,CC1與面ABC所成的角為60°則斜三棱柱ABC-A1B1C1體積的最小值是
9
3
9
3

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖所示,已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的各棱長(zhǎng)均為2,側(cè)棱與底面所成角為
π3
,且側(cè)面ABB1A1垂直于底面.
(1)判斷B1C與C1A是否垂直,并證明你的結(jié)論;
(2)求四棱錐B-ACC1A1的體積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知斜三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,AC=BC=2,點(diǎn)D為AC的中點(diǎn),A1D⊥平面ABC,A1B⊥ACl
(I)求證:AC1⊥AlC; 
(Ⅱ)求二面角A-A1B-C的余弦值.

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