設直線l1:y=k1x+1,l2:y=k2x-1,其中實數(shù)k1,k2滿足k1k2=-
1
9
,
(Ⅰ)證明:l1與l2相交;
(Ⅱ)求l1與l2的交點P的軌跡C的方程;
(Ⅲ)過點Q(1,0)作直線l(與x軸不垂直)與軌跡C交于M、N兩點,與y軸交于點R,若
RM
MQ
RN
NQ
,證明:λ+μ為定值.
考點:直線與圓錐曲線的綜合問題,軌跡方程
專題:圓錐曲線中的最值與范圍問題
分析:(Ⅰ)用反證法,假設l1與l2不相交,得k12=-
1
9
,此與k1為實數(shù)的事實相矛盾,所以l1與l2相交.
(Ⅱ)設交點P(x,y),滿足
y-1=k1x
y+1=k2x
,由此得到
y-1
x
y+1
x
=-
1
9
,從而能求出交點P的軌跡C的方程.
(Ⅲ)設直線l的方程為y=k(x-1),則M,N兩點坐標滿足方程組
y=k(x-1)
x2
9
+y2=1
,整理,得(1+9k2)x2-18k2x+9k2-9=0,由已知條件推導出λ=
x3
1-x3
,μ=
x4
1-x4
,由此利用韋達定理得λ+μ=-
9
4
解答: (Ⅰ)證明:用反證法,假設l1與l2不相交,
則l1與l2平行,則k1=k2
代入k1k2=-
1
9
,得k12=-
1
9

此與k1為實數(shù)的事實相矛盾,
∴k1≠k2,假設不成立,
∴l(xiāng)1與l2相交.
(Ⅱ)設交點P(x,y),滿足
y-1=k1x
y+1=k2x

∴x≠0,
k1=
y-1
x
k2=
y+1
x
,
代入k1k2=-
1
9
,得
y-1
x
y+1
x
=-
1
9
,
整理,得:
x2
9
+y2=1
,
∴交點P的軌跡C的方程為
x2
9
+y2=1

(Ⅲ)依題意,直線l的斜率存在,故設直線l的方程為y=k(x-1),
設M(x3,y3),N(x4,y4),R(0,y3),
則M,N兩點坐標滿足方程組
y=k(x-1)
x2
9
+y2=1

消去y并整理,得(1+9k2)x2-18k2x+9k2-9=0,
∴x3+x4=
18k2
1+9k2
,①,x3x4=
9k2-9
1+9k2
,②
RM
MQ
,∴(x3,y3)-(0,y3)=λ[(t,0)-(x3,y3)],
x3=λ(1-x3)
y3-y3=-λy3
,∴x3=λ(1-x3),
∵l與x軸不垂直,∴x3≠1,∴λ=
x3
1-x3
,
同理μ=
x4
1-x4

∴λ+μ=
x3
1-x3
+
x4
1-x4
=
(x3+x4)-2x3x4 
1-(x3+x4)+x3x4
,
將①②代入,得λ+μ=-
9
4
點評:本題考查兩直線相交的證明,考查兩直線的交點的軌跡方程的求法,考查兩實數(shù)和為定值的證明,解題時要認真審題,注意反證法的合理運用.
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