(2005福建,21)如下圖,已知方向向量為的直線l過點(0,
)和橢圓C:
(a>b>0)的焦點,且橢圓C的中心關(guān)于直線l的對稱點在橢圓C的右準(zhǔn)線上.
(1)求橢圓C的方程;
(2)是否存在過點E(-2,0)的直線m交橢圓C于點M、N,滿足.若存在,求直線m的方程;若不存在,請說明理由.
解析:解法一:(1)直線 過原點垂直l的直線方程為 解①②得 ∵橢圓中心O(0,0)關(guān)于直線l的對稱點在橢圓C的右準(zhǔn)線上,∴ ∵直線l過橢圓焦點,∴該焦點坐標(biāo)為(2,0). ∴c=2, 故橢圓C的方程為 解法二:直線 設(shè)原點關(guān)于直線l的對稱點為(p,q),則
∵直線l過橢圓焦點,∴該焦點坐標(biāo)為(2,0). ∴c=2, (2)解法一:設(shè)M( 如下圖,當(dāng)直線m不垂直x軸時,直線m∶y=k(x+2)代入③,整理得 ∴ 點O到直線MN的距離 ∵ 即 ∴ ∴ 即 如下圖,當(dāng)直線m垂直x軸時,也滿足 故直線m的方程為 或 經(jīng)檢驗上述直線均滿足 所以所求直線方程為 解法二:設(shè)M( 當(dāng)直線m不垂直x軸時,直線m∶y=k(x+2)代入③,整理得 ∵E(-2,0)是橢圓C的左焦點, ∴
以下與解法一相同. |
剖析:本題考查向量、橢圓及對稱等綜合知識,考查直線與橢圓的位置關(guān)系. |
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