Question

已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|≤

π

2

）的部分圖象如圖所示．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若銳角αα滿足：f（α）-f（α-

π

6

）=1，求α．

Answer 1

考點(diǎn)：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）由圖易知A=2，T=π，從而可求得ω=2；再利用f（

π

6

）=2，|φ|≤

π

2

即可求得φ的值，從而可得函數(shù)f（x）的解析式；
（2）由（1）知f（x）=2sin（2x+

π

6

），于是由f（α）-f（α-

π

6

）=1，可求得cos2α=

1

2

，α為銳角，從而可求得α的值．

解答： （本小題12分）
解：（1）由圖知A=2，T=4×(

π

6

+

π

12

)=π，
∴ω=

2π

T

=2，
∴f（x）=2sin（2x+φ）…（3分）
由f(

π

6

)=2sin(2×

π

6

+φ)=2⇒2×

π

6

+φ=

π

2

+2kπ，
∴ω=

π

6

+2kπ(k∈Z)
又|φ|＜

π

2

，∴ω=

π

6

，
∴f(x)=2sin(2x+

π

6

)…（6分）
（2）由f(α)-f(α-

π

6

)=1⇒2sin(2α+

π

6

)-2sin[2(α-

π

6

)+

π

6

]=1，
得sin2αcos

π

6

+cos2αsin

π

6

-sin2αcos

π

6

+cos2αsin

π

6

=

1

2

，
∴cos2α=

1

2

＞0…（10分）
又∵α是銳角，
∴2α=

π

3

  即α=

π

6

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，考查兩角和與差的正弦，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．