Question

如圖，已知拋物線E：y²=x與圓M：（x-4）²+y²=r²（r＞0）相交于A、B、C、D四個點．
（Ⅰ）求r的取值范圍；
（Ⅱ）當(dāng)四邊形ABCD的面積最大時，求對角線AC、BD的交點P的坐標．

Answer 1

分析：（1）先聯(lián)立拋物線與圓的方程消去y，得到x的二次方程，根據(jù)拋物線E：y²=x與圓M：（x-4）²+y²=r²（r＞0）相交于A、B、C、D四個點的充要條件是此方程有兩個不相等的正根，可求出r的范圍．
（2）先設(shè)出四點A，B，C，D的坐標再由（1）中的x二次方程得到兩根之和、兩根之積，表示出面積并求出其的平方值，最后根據(jù)三次均值不等式確定得到最大值時的點P的坐標．

解答：解：（Ⅰ）將拋物線E：y²=x代入圓M：（x-4）²+y²=r²（r＞0）的方程，
消去y²，整理得x²-7x+16-r²=0（1）
拋物線E：y²=x與圓M：（x-4）²+y²=r²（r＞0）相交于A、B、C、D四個點的充要條件是：
方程（1）有兩個不相等的正根
∴

49-4(16-r2)＞0 x1+x2=7＞0 x1•x2=16-r2＞0

即

r＜- 15 2 或r＞ 15 2 -4＜r＜4

．
解這個方程組得

15

2

＜r＜4，r∈(

15

2

，4)．

（II）設(shè)四個交點的坐標分別為
A(x1，

x1

)、B(x1，-

x1

)、C(x2，-

x2

)、D(x2，

x2

)．
則由（I）根據(jù)韋達定理有x₁+x₂=7，x₁x₂=16-r²，r∈(

15

2

，4)
則S=

1

2

•2•|x2-x1|(

x1

+

x2

)=|x2-x1|(

x1

+

x2

)
∴S2=[(x1+x2)2-4x1x2](x1+x2+2

x1x2

)=(7+2

16-r2

)(4r2-15)
令

16-r2

=t，
則S²=（7+2t）²（7-2t）下面求S²的最大值．
由三次均值有：S2=(7+2t)2(7-2t)=

1

2

(7+2t)(7+2t)(14-4t)≤

1

2

(

7+2t+7+2t+14-4t

3

)3=

1

2

•(

28

3

)3
當(dāng)且僅當(dāng)7+2t=14-4t，即t=

7

6

時取最大值．
經(jīng)檢驗此時r∈(

15

2

，4)滿足題意．
故所求的點P的坐標為(

7

6

，0)．

點評：本題主要考查拋物線和圓的綜合問題．圓錐曲線是高考必考題，要強化復(fù)習(xí)．