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已知函數f（x）=x2+mx+nlnx（x＞0，實數m，n為常數）．且n+3m2=0（m＞0），若函數f（x）在x∈[1，+∞）上的最小值為0，則m=（　�。�
分析：通過m，n的關系消去n，求出函數f（x）的導數，對m進行討論探討函數在x＞1時的單調性從而求出其最小值，建立關于m的方程，可求得m的值．
解答：解：（1）當n+3m2=0時，f（x）=x2+mx-3m2lnx．
則f'（x）=2x+m-
3m2
x
=
2x2+mx-3m2
x
=
(x-m)(2x+3m)
x

令f'（x）=0，得x=-
3m
2
（舍去），x=m．
①當m＞1時，

∴當x=m時，fmin（x）=2m2-3m2lnm．
令2m2-3m2lnm=0，得m=e
2
3
．
②當0＜m≤1時，f'（x）≥0在x∈[1，+∞）上恒成立，f（x）在x∈[1，+∞）上為增函數，當x=1時，fmin（x）=1+m．
令m+1=0，得m=-1（舍）．
綜上所述，所求m=e
2
3
．
故選：A．
點評：本題考查利用導數研究函數的單調區(qū)間以及根據函數的增減性得到函數的最值．掌握分類討論的思想方法，是個中檔題
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網已知函數f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜
π
2
）的部分圖象如圖所示，則f（x）的解析式是（　　）
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•深圳一模）已知函數f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，設曲線y=f（x）在與x軸交點處的切線為y=4x-12，f′（x）為f（x）的導函數，且滿足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）設g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函數g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）設h（x）=lnf′（x），若對一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求實數t的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2011•上海模擬）已知函數f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）當a=1，b=2時，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1對任意0＜a＜b恒成立，求實數m的取值范圍；
（3）設k、c＞0，當a=k2，b=（k+c）2時，記f（x）=f1（x）；當a=（k+c）2，b=（k+2c）2時，記f（x）=f2（x）．
求證：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

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科目：高中數學 來源：上海模擬 題型：解答題

已知函數f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）當a=1，b=2時，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1對任意0＜a＜b恒成立，求實數m的取值范圍；
（3）設k、c＞0，當a=k2，b=（k+c）2時，記f（x）=f1（x）；當a=（k+c）2，b=（k+2c）2時，記f（x）=f2（x）．
求證：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

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科目：高中數學 來源：深圳一模 題型：解答題

已知函數f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，設曲線y=f（x）在與x軸交點處的切線為y=4x-12，f′（x）為f（x）的導函數，且滿足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）設g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函數g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）設h（x）=lnf′（x），若對一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求實數t的取值范圍．

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