Question

已知函數(shù)f（x）=（x²+ax+b）•e^x，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)．函數(shù)f（x）在x=-

1

2

和x=

3

2

處取得極值．
（Ⅰ）求實數(shù)a，b的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，2]上的最大值與最小值．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：綜合題,導數(shù)的概念及應用

分析：（Ⅰ）求導數(shù)，利用函數(shù)f（x）在x=-

1

2

和x=

3

2

處取得極值，結合韋達定理，即可求實數(shù)a，b的值；
（Ⅱ）確定函數(shù)在[-1，-

1

2

]、[

3

2

，2]上單調(diào)遞增，[-

1

2

，

3

2

]上單調(diào)遞減，即可求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，2]上的最大值與最小值．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=（x²+ax+b）•e^x，
∴f'（x）=（2x+a）e^x+（x²+ax+b）e^x=[x²+（2+a）x+（a+b）]e^x，
∵f（x）在x=-

1

2

和x=

3

2

處取得極值，
∴

1=-(2+a) - 3 4 =a+b

，
∴a=-3，b=

9

4

；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，函數(shù)在[-1，-

1

2

]、[

3

2

，2]上單調(diào)遞增，[-

1

2

，

3

2

]上單調(diào)遞減，
∵f（-1）=（1+3+

9

4

）•e^-1=

25

4e

，f（-

1

2

）=4e-

1

2

，f（

3

2

）=0，f（2）=

e2

4

，
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，2]上的最大值為

25

4e

，最小值為0．

點評：本題考查導數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的極值與最值，確定函數(shù)的單調(diào)性是關鍵．