Question

【題目】已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且對(duì)任意n，恒成立.

（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)，已知，，(2＜i＜j)成等差數(shù)列，求正整數(shù)i，j.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）i＝4，j＝5

【解析】

（1）根據(jù)題目所給遞推關(guān)系式證得數(shù)列是等差數(shù)列，由此得到.利用求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.

（2）由（1）求得的表達(dá)式，由成等差數(shù)列列方程，分成和兩種情況進(jìn)行分類討論，由此求得整數(shù).

（1）∵，

∴，

∵數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，∴，等式兩邊同時(shí)除以，

得，故數(shù)列是等差數(shù)列，首項(xiàng)為2，公差為0，

∴，即①，，求得，

∴(n≥2)②，①﹣②得，即，

又，∴對(duì)任意n，數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列

故數(shù)列的通項(xiàng)公式為；

（2），

∴，，，

∵，，(2＜i＜j)成等差數(shù)列，

∴，

變形得(*)，

①當(dāng)時(shí)，，

令(i≥3)，則(i≥3)，

∴數(shù)列單調(diào)遞減，故，

∴，，故時(shí)*式不成立，

②當(dāng)時(shí)，*式轉(zhuǎn)化為，解得i＝4，故j＝5.