Question

已知定義域?yàn)閇0，1]的函數(shù)f（x）同時(shí)滿足：①對(duì)于任意的x∈[0，1]，總有f（x）≥0；②f（1）=1；③若x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1，則有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）．
（1）求f（0）的值；
（2）求f（x）的最大值．

Answer 1

分析：（1）令x₁=x₂=0代入即可得答案；
（2）用定義確定函數(shù)f（x）是[0，1]上的增函數(shù)，所以當(dāng)x=1時(shí)函數(shù)f（x）取最大值．

解答：解：（1）對(duì)于條件③，令x₁=x₂=0，得f（0）≤0，
又由條件①知，f（0）≥0，
故f（0）=0．
（2）設(shè)0≤x₁＜x₂≤1，則x₂-x₁∈（0，1），
∴根據(jù)③，若x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1，則有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）．
∴f（x₂）-f（x₁）
=f[（x₂-x₁）+x₁]-f（x₁）
≥f（x₂-x₁）+f（x₁）-f（x₁）
=f（x₂-x₁）≥0．
即f（x₂）≥f（x₁），故f（x）在[0，1]上是單調(diào)遞增，
∴f（x）的最大值是f（1）=1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查抽象函數(shù)的單調(diào)性以及基本不等式的有關(guān)問(wèn)題．解決抽象函數(shù)問(wèn)題時(shí)，會(huì)經(jīng)常對(duì)抽象函數(shù)的恒等式賦值處理或者會(huì)數(shù)形結(jié)合來(lái)處理．