已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
2
2
，且過點A(
2
， 1)．直線y=
2
2
x+m交橢圓C于B，D（不與點A重合）兩點．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）△ABD的面積是否存在最大值？若存在，求出這個最大值；若不存在，請說明理由．
（Ⅰ）由題意可得
c
a
=
2
2
2
a2
+
1
b2
+1
a2=b2+c2
，解得
a2=4
b2=c2=2
，
∴橢圓C的方程為
x2
4
+
y2
2
=1；
（Ⅱ）設B（x1，y1），D（x2，y2）．
由
y=
2
2
x+m
x2
4
+
y2
2
=1
消去y得到x2+
2
mx+m2-2=0，
∵直線與橢圓有兩個不同的交點，∴△=8-2m2＞0，解得-2＜m＜2．
∴x1+x2=-
2
m，x1x2=m2-2．
∴|BD|=
[1+(
2
2
)2][(x1+x2)2-4x1x2]
=
3
2
[2m2-4(m2-2)]

=
3(4-m2)
．
點A到直線BD的距離d=
|2-2+2m|
6
=
|2m|
6
．
∴S△ABD=
1
2
|BD|d=
1
2
×
3(4-m2)
×
|2m|
6
=
2
2
m2(4-m2)
≤
2
2
×
m2+(4-m2)
2
=
2
．
當且僅當m=±
2
∈（-2，2）時取等號．
∴當m=±
2
時，△ABD的面積取得最大值
2
．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
1
2
，且經過點P(1，
3
2
)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設F是橢圓C的左焦，判斷以PF為直徑的圓與以橢圓長軸為直徑的圓的位置關系，并說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的短軸長為2
3
，右焦點F與拋物線y2=4x的焦點重合，O為坐標原點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設A、B是橢圓C上的不同兩點，點D（-4，0），且滿足
DA
=λ
DB
，若λ∈[
3
8
，
1
2
]，求直線AB的斜率的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）經過點A（1，
3
2
），且離心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點B（-1，0）能否作出直線l，使l與橢圓C交于M、N兩點，且以MN為直徑的圓經過坐標原點O．若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•房山區(qū)二模）已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的長軸長是4，離心率為
1
2
．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）設過點P（0，-2）的直線l交橢圓于M，N兩點，且M，N不與橢圓的頂點重合，若以MN為直徑的圓過橢圓C的右頂點A，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的短軸長為2，離心率為
2
2
，設過右焦點的直線l與橢圓C交于不同的兩點A，B，過A，B作直線x=2的垂線AP，BQ，垂足分別為P，Q．記λ=
AP+BQ
PQ
，若直線l的斜率k≥
3
，則λ的取值范圍為
 
．

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