Question

已知實(shí)數(shù)a，b，c∈R，a＞0，函數(shù)f（x）=ax²+bx+c．
（1）如果存在實(shí)數(shù)a，使得f（a）＜0，證明方程f（x）=0必有兩個(gè)不等的實(shí)根x₁，x₂（x₁＜x₂），且滿足x₁＜a＜x₂；
（2）如果c為非零常數(shù)，且a=b=1，不等式f（x）≥λx對(duì)任意x∈[1，2]成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì),函數(shù)恒成立問題

專題：計(jì)算題,證明題,分類討論,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）將f（x）=ax²+bx+c配方，求出最小值，通過最小值大于0，等于0，說明拋物線在x軸上方，則不存在a＞0，使得f（a）＜0，從而說明結(jié)論成立；
（2）不等式f（x）≥λx，即有x²+x+c≥λx對(duì)任意x∈[1，2]成立，即有λ-1≤x+

c

x

，對(duì)任意x∈[1，2]成立．
對(duì)c討論，當(dāng)c＜0時(shí)，0＜c≤1時(shí)，當(dāng)1＜c＜4時(shí)，當(dāng)c≥4時(shí)，通過單調(diào)性，分別求出x+

c

x

的最小值，即可得到結(jié)論．

解答： （1）證明：f（x）=ax²+bx+c
=a（x+

b

2a

）²+

4ac-b2

4a

，
由于a＞0，則拋物線開口向上，
若

4ac-b2

4a

≥0，則拋物線在x軸上方，
則不存在a＞0，使得f（a）＜0，
則

4ac-b2

4a

＜0，即有△=b²-4ac＞0，
則方程f（x）=0必有兩個(gè)不等的實(shí)根x₁，x₂（x₁＜x₂），
且滿足x₁＜a＜x₂；
（2）解：a=b=1，不等式f（x）≥λx，
即有x²+x+c≥λx對(duì)任意x∈[1，2]成立，
即有λ-1≤x+

c

x

，對(duì)任意x∈[1，2]成立．
當(dāng)c＜0，則x+

c

x

在[1，2]遞增，x=1時(shí)，取最小值1+c，則λ≤2+c；
當(dāng)c＞0，可得x+

c

x

（x＞0），在（0，

c

）遞減，（

c

，+∞）遞增，
當(dāng)

c

≤1，即0＜c≤1，x+

c

x

在[1，2]遞增，則x=1取最小值1+c，即有λ≤2+c；
當(dāng)1＜

c

＜2，即1＜c＜4，x+

c

x

在x=

c

取最小值2

c

，即有λ≤1+2

c

；
當(dāng)

c

≥2即c≥4，時(shí)，x+

c

x

在[1，2]遞減，則x=2取最小值2+

c

2

，即有λ≤3+

c

2

．
綜上，c＜0或0＜c≤1時(shí)，λ≤2+c；當(dāng)1＜c＜4時(shí)，λ≤1+2

c

；
當(dāng)c≥4時(shí)，λ≤3+

c

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)和二次方程的實(shí)根情況，考查二次不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，考查分類討論的思想方法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．