Question

如圖，有一塊半徑為R的半圓形空地，開發(fā)商計(jì)劃征地建一個(gè)矩形游泳池ABCD和其附屬設(shè)施，附屬設(shè)施占地形狀是等腰△CDE，其中O為圓心，A，B在圓的直徑上，C，D，E在圓周上．
（1）設(shè)∠BOC=θ，征地面積記為f（θ），求f（θ）的表達(dá)式；
（2）當(dāng)θ為何值時(shí)，征地面積最大？

Answer 1

分析：（1）利用f（θ）=2S_梯形OBCE，可求f（θ）的表達(dá)式；
（2）求導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求得最值．

解答：解：（1）連接OE，OC，可得OE=R，OB=Rcosθ，BC=Rsinθ，θ∈（0，

π

2

）
∴f（θ）=2S_梯形OBCE=R²（sinθcosθ+cosθ）；
（2）求導(dǎo)數(shù)可得f′（θ）=-R²（2sinθ-1）（sinθ+1）
令f′（θ）=0，則sinθ=

1

2

∵θ∈（0，

π

2

）
∴θ∈（0，

π

6

）時(shí)，f′（θ）＞0，θ∈（

π

6

，

π

2

）時(shí)，f′（θ）＜0，
∴θ=

π

6

時(shí)，f（θ）取得最大，即θ=

π

6

時(shí)，征地面積最大．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，正確建立函數(shù)模型是關(guān)鍵．