Question

已知，點依次滿足。
(1)求點的軌跡；  
(2)過點作直線交以為焦點的橢圓于兩點，線段的中點到軸的距離為，且直線與點的軌跡相切，求該橢圓的方程；
(3)在(2)的條件下，設(shè)點的坐標為，是否存在橢圓上的點及以為圓心的一個圓，使得該圓與直線都相切，如存在，求出點坐標及圓的方程，如不存在，請說明理由.

Answer 1

(1) 以原點為圓心，1為半徑的圓， (2) （3）存在點，其坐標為或.

試題分析：(1)求動點軌跡方程，分四步.第一步，設(shè)動點坐標第二步建立等量關(guān)系：第三步化簡等量關(guān)系：第四步，去雜.求軌跡，不僅求出軌跡方程，而且說明軌跡形狀.(2)求橢圓標準方程，一般利用待定系數(shù)法. 設(shè)直線的方程為橢圓的方程由與圓相切得：由直線的方程與橢圓方程聯(lián)立方程組得：所以，∴（3）存在性問題，一般從假設(shè)存在出發(fā)，列等量關(guān)系，將存在性問題轉(zhuǎn)化為方程是否有解問題. 假設(shè)，：   ：     ,
又，解得：或 （舍）.
解析：(1) 設(shè)

             
所以，點的軌跡是以原點為圓心，1為半徑的圓.               4分
(2)設(shè)直線的方程為     ①
橢圓的方程②        
由與圓相切得：                       6分
將①代入②得：，
又，可得，
有，∴，. 
∴                                     9分
(3) 假設(shè)存在橢圓上的一點，使得直線與以Q為圓心的圓相切，
則Q到直線的距離相等,
：     
：                          
                  12分
化簡整理得：                   
∵ 點在橢圓上，∴
解得：或 （舍）                           
時，，，                             15分
∴ 橢圓上存在點，其坐標為或，使得直線與以Q為圓心的圓相切                                16分