Question

【題目】求下列函數(shù)的值域和單調(diào)區(qū)間：

（1）

（2）．

Answer 1

【答案】（1）值域?yàn)?/span>．單調(diào)遞增區(qū)間為．單調(diào)遞減區(qū)間為．（2）值域?yàn)?/span>．單調(diào)遞增區(qū)間為．單調(diào)遞減區(qū)間為．

【解析】

(1)先利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，令，求得，然后，利用復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)判斷單調(diào)區(qū)間即可.

(2)利用換元法，設(shè)，則，然后求出值域，進(jìn)而利用復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)判斷單調(diào)區(qū)間.

解 （1）由，解得．

設(shè)，則．

∴，即函數(shù)的值域?yàn)?/span>．

因?yàn)?/span>在區(qū)間上單調(diào)遞增，即當(dāng)時(shí)，u隨著x的增大而增大，y隨著u的增大而減小，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為．

同理，因?yàn)?/span>在區(qū)間上單調(diào)遞減，即當(dāng)時(shí)，u隨著x的增大而減小，y隨著u的減小而增大，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為．

（2）函數(shù)整理，得，定義域?yàn)?/span>．

設(shè)，則．

∵，所以函數(shù)的值域?yàn)?/span>．

因?yàn)?/span>在上單調(diào)遞減，此時(shí)由即．解不等式，得，即當(dāng)時(shí)，u隨著x的增大而增大，y隨著u的增大而減小，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為．

同理，因?yàn)?/span>在上單調(diào)遞增，此時(shí)由即．解不等式，得，即當(dāng)時(shí)，u隨著x的增大而增大，y隨著u的增大而增大，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為．