Question

【題目】已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，滿足a1=1，ak+1﹣ak=ai ． （i≤k，k=1，2，3，…，n﹣1）
（1）求證： ；
（2）若{an}是等比數(shù)列，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（3）設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn ， 求證： ．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵ak+1﹣ak=ai＞0（i≤k，k=1，2，3，…，n﹣1），

∴數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，即1＜a2＜a3＜…＜an．

又∵ak+1﹣ak=ai≥1（i≤k，k=1，2，3，…，n﹣1），

∴ak+1﹣ak≥1（k=1，2，3，…，n﹣1）．

（2）解：∵a2﹣a1=a1，∴a2=2a1；

∵{an}是等比數(shù)列，∴數(shù)列{an}的公比為2．

∵ak+1﹣ak=ai（i≤k，k=1，2，3，…，n﹣1），∴當(dāng)i=k時(shí)有ak+1=2ak．

這說(shuō)明在已知條件下，可以得到唯一的等比數(shù)列．

∴ ．

（3）證明：∵1=a1=1，2=a2=2， ， ，…， ，

由上面n個(gè)式子相加，得到： ，

化簡(jiǎn)得 ，

∴

【解析】（1）利用數(shù)列的單調(diào)性即可證明；（2）利用遞推關(guān)系、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出；（3）利用“累加求和”與不等式的性質(zhì)即可得出．