Question

(14分)設(shè)函數(shù)

（1）當(dāng)時(shí)，求的最大值；

（2）令，以其圖象上任意一點(diǎn)為切點(diǎn)的切線的斜率恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）當(dāng)時(shí)，方程有唯一實(shí)數(shù)解，求正數(shù)的值．

 

Answer 1

【答案】

（1）的最大值為； (2)  ；（3） .                                                 

【解析】第一問利用當(dāng)時(shí)，

解得或（舍去）  當(dāng)時(shí)，，單調(diào)增加，

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)減少得到最值

第二問中，

由恒成立得恒成立    

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070912060265573646/SYS201207091206466713430036_DA.files/image017.png">，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立      

所以

第三問中，時(shí)，方程即

設(shè)，解

得(<0舍去)，

在單調(diào)增加，在單調(diào)減少，最大值為

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070912060265573646/SYS201207091206466713430036_DA.files/image020.png">有唯一實(shí)數(shù)解，有唯一零點(diǎn)，所以

最后求解得到。

解：（1）當(dāng)時(shí)，   ……1分

解得或（舍去）               ……2分

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)增加，

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)減少                ……3分

  所以的最大值為                              ……4分

(2)  ……6分

由恒成立得恒成立       ……7分

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070912060265573646/SYS201207091206466713430036_DA.files/image017.png">，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立          ……8分

所以                                                 ……9分

（3）時(shí)，方程即

設(shè)，解

得(<0舍去)，

在單調(diào)增加，在單調(diào)減少，最大值為    ……11分

 因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070912060265573646/SYS201207091206466713430036_DA.files/image020.png">有唯一實(shí)數(shù)解，有唯一零點(diǎn)，所以  ……12分

由得，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070912060265573646/SYS201207091206466713430036_DA.files/image035.png">單調(diào)遞增，且，所以         ……13分

從而                                                     ……14分