Question

設(shè)函數(shù)f（x）=ln（1+x）-ax，x∈（0，+∞）
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求證：ln(1+n)＜1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

(n∈N+)；
（3）若|m|≥2，試比較：ln(1+

1

1×2

)+ln(1+

1

2×3

)+…+ln[1+

1

n×(n+1)

]+

1

n+1

（n∈N₊）與m²-3大小關(guān)系．

Answer 1

分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，由于參數(shù)a的變化對單調(diào)性有影響，故要進(jìn)行分類討論；（2）利用（1）問的結(jié)論，利用疊加的思想可證得；（3）問則在（2）的基礎(chǔ)上，進(jìn)行疊加即可證得．

解答：解：（1）f/(x)=

1

1+x

-a，
①若a≥1，f′（x）＜0恒成立，故函數(shù)在（0，+∞）上遞減；
②若0＜a＜1，令f′（x）＞0，則函數(shù)在(0，

1-a

a

)上遞增，在(

1-a

a

，+∞ )上遞減；
（2）證明：由（1）知，當(dāng)時，函數(shù)f（x）=ln（1+x）-x在（0，+∞）上遞減，即f（x）＜f（0），即ln（1+x）＜x，所以ln（1+

1

n

）＜

1

n

，所以ln(n+1)-lnn＜

1

n

，當(dāng)n=1，2，n時，疊加得：ln(1+n)＜1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

(n∈N+)；
（3）由（2）知ln(1+

1

1×2

)＜

1

1×2

=1-

1

2

，ln(1+

1

2×3

)＜

1

2

-

1

3

，ln(1+

1

n(n+1)

)＜

1

n

-

1

n+1

疊加得ln(1+

1

1×2

)+ln(1+

1

n(n+1)

)+

1

n+1

＜1
故由題意|m|≥2，m²-3＞1，
所以ln(1+

1

1×2

)+ln(1+

1

2×3

)+…+ln[1+

1

n×(n+1)

]+

1

n+1

＜m²-3．

點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)在最大值與最小值問題中的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)研究出函數(shù)的單調(diào)性，判斷出函數(shù)的最值，本題第二小題是一個恒成立的問題，恒成立的問題一般轉(zhuǎn)化最值問題來求解，本題即轉(zhuǎn)化為用單調(diào)性求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值的問題，求出最值再判斷出參數(shù)的取值．本題運(yùn)算量過大，解題時要認(rèn)真嚴(yán)謹(jǐn)，避免變形運(yùn)算失誤，導(dǎo)致解題失敗．