Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=

1

4

，a_n=

an-1

(-1)nan-1-2

（n≥2，n∈N*）．
（1）證明：數(shù)列{

1

an

+（-1）ⁿ}是等比數(shù)列．
（2）設(shè)b_n=

1

an2

，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題設(shè)條件能夠?qū)С?span id="vyvxqhf" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

1

an

+（-1）ⁿ=（-2）[

1

an-1

+（-1）^n-1]，由此可知數(shù)列{

1

an

+（-1）ⁿ}是以

1

a1

+（-1）=3為首項(xiàng)，公比為-2的等比數(shù)列．
（Ⅱ）b_n=（3×2^n-1+1）²=9×4^n-1+6×2^n-1+1．由此可求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

解答：解：（Ⅰ）

1

an

=（-1）ⁿ-

2

an-1

，∴

1

an

+（-1）ⁿ=（-2）[

1

an-1

+（-1）^n-1]
∴數(shù)列{

1

an

+（-1）ⁿ}是以

1

a1

+（-1）=3為首項(xiàng)，公比為-2的等比數(shù)列．
∴

1

an

+（-1）ⁿ=3（-2）^n-1，即a_n=

(-1)n-1

3×2n-1+1

．
（Ⅱ）b_n=（3×2^n-1+1）²=9×4^n-1+6×2^n-1+1．
∴S_n=9×

1×(1-4n)

1-4

+6×

1×(1-2n)

1-2

+n=3×4ⁿ+6×2ⁿ+n-9．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的遞推公式和數(shù)列的求和，解題時(shí)要注意數(shù)列求和的方法總結(jié)和公式的合理運(yùn)用．