Question

已知sinθ+cosθ=

1

5

，θ∈（0，π）．求值：（1）tanθ；（2）sin³θ+cos³θ

Answer 1

分析：利用sinθ+cosθ=

1

5

，θ∈（0，π）．結(jié)合平方關(guān)系，求出sinθ，cosθ的值，然后代入直接求出（1）tanθ；（2）sin³θ+cos³θ的值即可．

解答：解∵sinθ+cosθ=

1

5

，θ∈（0，π ），
∴（sinθ+cosθ ）²=

1

25

=1+2sinθ cosθ，
∴sinθ cosθ=-

12

25

＜0．由根與系數(shù)的關(guān)系知，sinθ，cosθ 是方程x²-

1

5

x-

12

25

=0的兩根，
解方程得x₁=

4

5

，x₂=-

3

5

．
∵sinθ＞0，cosθ＞0，∴sinθ=

4

5

，cosθ=-

3

5

．
則tanθ=-

4

3

； sin³θ+cos³θ=

37

125

．
故（1）tanθ=-

4

3

．（2）sin³θ+cos³θ=

37

125

．

點(diǎn)評(píng)：本題是基礎(chǔ)題，考查三角函數(shù)的化簡求值，注意三角函數(shù)的各象限的三角函數(shù)的符號(hào)，考查計(jì)算能力．