Question

設(shè){a_n}為實(shí)數(shù)數(shù)列，且對一切正整數(shù)n，均有關(guān)系式a_n+1=1-a₁a₂•…•a_n．
（Ⅰ）證明：0＜a_n＜1（n∈N）的充要條件是0＜a₁＜1；
（Ⅱ）若a₁=-1，求證：-

1

2014

＜

1

a1

+

1

a2

+…+

1

a2014

＜0．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系，即可得到結(jié)論．
（2）裂項(xiàng)法進(jìn)行求和，然后根據(jù)不等式的性質(zhì)即可證明不等式．

解答： 解：（Ⅰ）0＜a_n＜1⇒0＜a₁＜1顯然，
下證0＜a₁＜1⇒0＜a_n＜1．
由a_n+1=1-a₁a₂•…•a_n，得a₂=1-a₁，且當(dāng)n≥2時，a_n+1=1-a_n（1-a_n），
因此，對于任意正整數(shù)n，均有0＜a_n＜1⇒0＜a_n+1＜1，
所以0＜a₁＜1⇒0＜a_n＜1
故0＜a_n＜1的充要條件是0＜a₁＜1．
（Ⅱ）因?yàn)閚≥2時，a_n+1=1-a_n（1-a_n）⇒a_n+1-1=a_n（a_n-1）
所以

1

an+1-1

=

1

an(an-1)

=

1

an-1

-

1

an

，即

1

an

=

1

an-1

-

1

an+1-1

，
故

1

a1

+

1

a2

+…+

1

a2014

=

1

a1

+(

1

a2-1

-

1

a3-1

)+(

1

a3-1

-

1

a4-1

)+…+(

1

a2014-1

-

1

a2015-1

)
=-1+1-

1

a2015-1

=-

1

a2015-1

=

1

a1a2a3…a2014

，
因?yàn)閍₁=-1，可得a₂=2
又n≥2時，an+1=1-an(1-an)⇒an+1-an=(an-1)2≥1
可得a_n≥n＞0（等號成立當(dāng)且僅當(dāng)n=2，3時成立）
易知

1

a1a2a3…a2014

＜0顯然成立，
且：n≥2，a₂a₃…a_n＞n!．
從而

1

a1a2a3…a2014

＞-

1

2014!

．結(jié)論成立．

點(diǎn)評：本題主要考查數(shù)列的遞推公式的應(yīng)用，以及數(shù)列與不等式的綜合，考查學(xué)生的計(jì)算能力，綜合性較強(qiáng)，難度較大．