Question

已知函數(shù)f（x）=

m•2x+n

2x+m

（m≠0）是定義在R上的奇函數(shù)．
（1）求m，n．
（2）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性．
（3）解關(guān)于t的方程f（log_m-n（t²-3t））=

3

5

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由奇函數(shù)的性質(zhì)得

f(0)=0 (-1)=-f(1)

，代入解析式列出方程組，求出m，n的值；
（2）由（1）求出解析式，再分離常數(shù)，利用指數(shù)函數(shù)、復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷即可；
（3）由（1）化簡(jiǎn)log_m-n（t²-3t），再化簡(jiǎn)2

log

(t2-3t) 2

，代入方程f（log_m-n（t²-3t））=

3

5

化簡(jiǎn)，求出t的值并驗(yàn)證真數(shù)大于零．

解答： 解：（1）因?yàn)閒（x）是R上的奇函數(shù)，
所以

f(0)=0 (-1)=-f(1)

，即

m+n 1+m =0 m•2-1+n 2-1+m =- 2m+n 2+m

，
解得m=1，n=-1；
（2）由（1）得，f(x)=

2x-1

2x+1

=

2x+1-2

2x+1

=1-

2

2x+1

，
所以函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增；
（3）由（1）得，log_m-n（t²-3t）=log₂（t²-3t），
則2

log

(t2-3t) 2

=t²-3t，
所以f（log_m-n（t²-3t））=

3

5

為：

t2-3t-1

t2-3t+1

=

3

5

，
化簡(jiǎn)得t²-3t-4=0，解得t=-1或4，滿足t²-3t＞0，
所以方程的解是t=-1或4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用函數(shù)的奇偶性求參數(shù)，指數(shù)函數(shù)和復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，分離常數(shù)法化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，以及指數(shù)、對(duì)數(shù)的運(yùn)算，屬于中檔題．