Question

已知曲線C：f(x)＝x²，C上點(diǎn)A，A_n的橫坐標(biāo)分別為1和a_n(n＝1，2，3…)，且a₁＝5，數(shù)列{x_n}滿足x_n+1＝tf(x_n－1)＋1(t＞0)，且()．設(shè)區(qū)間D_n＝[1，a_n](a_n＞1)當(dāng)x∈D_n時(shí)，曲線C上存在點(diǎn)P_n(x_n，f(x_n))使得點(diǎn)P_n處的切線與直線AA_n平行．

(Ⅰ)證明：{log_t(x_n－1)＋1}是等比數(shù)列；

(Ⅱ)當(dāng)D_n+1D_n對(duì)一切n∈N^*恒成立時(shí)，求t的取值范圍；

(Ⅲ)記數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，當(dāng)時(shí)，試比較S_n與n＋7的大小，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)∵由線在點(diǎn)Pn的切線與直線AAn平行， 　　∴　　(1分) 　　由　　(2分) 　　∴ 　　即 　　∴是首項(xiàng)為2＋1為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列．　　(4分) 　　(Ⅱ)由(Ⅰ)得＝(2＋1)·2n－1， 　　∴ 　　從而an＝2xn－1＝1＋　　(6分) 　　由Dn+1Dn，得an+1＜an，即(2t)2n＜(2t)．　　(8分) 　　∴0＜2t＜1，即0＜t＜　　(9分) 　　(Ⅲ)當(dāng)時(shí)，　　(10分) 　　∴ 　　不難證明：當(dāng)n≤3時(shí)，2n－1≤n＋1；當(dāng)n≥4時(shí)，2n－1＞n＋1．　　(11分) 　　∴當(dāng)n≤3時(shí)，　　(12分) 　　當(dāng)n≥4時(shí)， 　　　　(13分) 　　綜上所述，對(duì)任意的　　(14分)