【題目】已知橢圓:
的左、右焦點(diǎn)分別為
,
,點(diǎn)
在橢圓
上,滿足
.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)直線過點(diǎn)
,且與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn),直線
與
的傾斜角互補(bǔ),且與橢圓交于異于點(diǎn)
的兩點(diǎn)
,
,與直線
交于點(diǎn)
(
介于
,
兩點(diǎn)之間).
(i)求證:;
(ii)是否存在直線,使得直線
、
、
、
的斜率按某種順序能構(gòu)成等比數(shù)列?若能,求出
的方程;若不能,請(qǐng)說明理由.
【答案】(1)(2)(i)見解析(ii)
【解析】試題分析:
(1)設(shè),由題意可得
,所以
. 結(jié)合橢圓的定義可得
. 則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為
.
(2)(ⅰ)設(shè)方程為
,與
聯(lián)立可得
. 則
的斜率是
.
聯(lián)立直線方程與橢圓方程,結(jié)合韋達(dá)定理可得
,
和
中,由正弦定理得
,
,結(jié)合幾何關(guān)系可得
成立.
(ⅱ)由(ⅰ)知,,
,
.假設(shè)存在直線
,滿足題意.不妨設(shè)
,
,
若
按某種排序構(gòu)成等比數(shù)列,則
,則
,此時(shí)直線
與
平行或重合,與題意不符,則不存在直線
滿足題意.
試題解析:
(1)設(shè),
則=
,所以
.
因?yàn)?/span>=4,所以
.
故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
(2)(ⅰ)設(shè)方程為
,與
聯(lián)立,消
得
, 由題意知
,解得
.
因?yàn)橹本與
的傾斜角互補(bǔ),所以
的斜率是
.
設(shè)直線方程:
,
,聯(lián)立
,整理得
,由
,得
,
,
;
直線、
的斜率之和
所以關(guān)于直線
對(duì)稱,即
,
在和
中,由正弦定理得
,
,
又因?yàn)?/span>,
所以
故成立.
(ⅱ)由(ⅰ)知,,
,
.
假設(shè)存在直線,滿足題意.不妨設(shè)
,
,
若
按某種排序構(gòu)成等比數(shù)列,設(shè)公比為
,則
或
或
.
所以,則
,此時(shí)直線
與
平行或重合,與題意不符,
故不存在直線,滿足題意.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,以原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,已知曲線C:ρsin2θ=2acos θ(a>0),過點(diǎn)P(-2,-4)的直線l: (t為參數(shù))與曲線C相交于M,N兩點(diǎn).
(1)求曲線C的直角坐標(biāo)方程和直線l的普通方程;
(2)若|PM|,|MN|,|PN|成等比數(shù)列,求實(shí)數(shù)a的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知多面體的底面
是邊長(zhǎng)為
的菱形,
底面
,
,且
.
(1)證明:平面平面
;
(2)若,求三棱錐
的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知關(guān)于實(shí)數(shù)x的一元二次方程.
Ⅰ
若a是從區(qū)間
中任取的一個(gè)整數(shù),b是從區(qū)間
中任取的一個(gè)整數(shù),求上述方程有實(shí)根的概率.
Ⅱ
若a是從區(qū)間
任取的一個(gè)實(shí)數(shù),b是從區(qū)間
任取的一個(gè)實(shí)數(shù),求上述方程有實(shí)根的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某高校在2015年的自主招生考試成績(jī)中隨機(jī)抽取100名學(xué)生的筆試成績(jī),按成績(jī)分組,得到的頻率分布表如表所示.
組號(hào) | 分組 | 頻數(shù) | 頻率 |
第1組 | 5 | ||
第2組 | a | ||
第3組 | 30 | b | |
第4組 | 20 | ||
第5組 | 10 | ||
合計(jì) | 100 |
Ⅰ
求出頻率分布表中a,b的值,再在答題紙上完成頻率分布直方圖;
Ⅱ
根據(jù)樣本頻率分布直方圖估計(jì)樣本成績(jī)的中位數(shù);
Ⅲ
高校決定在筆試成績(jī)較高的第3,4,5組中用分層抽樣抽取6名學(xué)生進(jìn)入第二輪面試,再?gòu)?名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生由A考官進(jìn)行面試,求第4組至少有一名學(xué)生被考官A面試的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】黑板上寫有,1,2,…,666,這666個(gè)正整數(shù),第一步劃去最前面的八個(gè)數(shù):1,2,…,8,,并在666后面寫上1,2,…,8的和36;第二步再劃去最前面的八個(gè)數(shù):9,10,…,16,并在最后面寫上9,10,…,16的和100;如此繼續(xù)下去(即每一步劃去最前面的八個(gè)數(shù),并在最后寫上劃去的八個(gè)數(shù)的和).
(1)問:經(jīng)過多少步后,黑板上只剩下一個(gè)數(shù)?
(2)當(dāng)黑板上只剩下一個(gè)數(shù)時(shí),求出在黑板上出現(xiàn)過的所有數(shù)的和(如果一個(gè)數(shù)多次出現(xiàn)需重復(fù)計(jì)算).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,底面
為直角梯形,
,平面
底面
,
為
中點(diǎn),
是棱
上的點(diǎn),
.
(Ⅰ)若點(diǎn)是棱
的中點(diǎn),求證:
平面
;
(Ⅱ)求證:平面平面
;
(Ⅲ)若二面角為
,設(shè)
,試確定
的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】時(shí)下,租車已經(jīng)成為新一代的流行詞,租車自駕游也慢慢流行起來(lái),某小車租車點(diǎn)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是,不超過2天按照300元計(jì)算;超過兩天的部分每天收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為100元(不足1天的部分按1天計(jì)算).有甲乙兩人相互獨(dú)立來(lái)該租車點(diǎn)租車自駕游(各租一車一次),設(shè)甲、乙不超過2天還車的概率分別為;2天以上且不超過3天還車的概率分別
;兩人租車時(shí)間都不會(huì)超過4天.
(1)求甲所付租車費(fèi)用大于乙所付租車費(fèi)用的概率;
(2)設(shè)甲、乙兩人所付的租車費(fèi)用之和為隨機(jī)變量,求
的分布列與數(shù)學(xué)期望
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若,求函數(shù)
的極值,并指出是極大值還是極小值;
(2)若,求證:在區(qū)間
上,函數(shù)
的圖像在函數(shù)
的圖像的下方.
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