已知函數(shù).
（1）證明：；
（2）當時，，求的取值范圍.

（1）證明過程詳見解析；（2）.

解析試題分析：本題考查導數(shù)的運算以及利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值等基礎知識，考查綜合分析問題解決問題的能力、轉(zhuǎn)化能力和計算能力.第一問，因為，所求證，所以只需分母即可，設函數(shù)，對求導，判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出最小值，證明最小值大于0即可，所求證的不等式的右邊，需證明函數(shù)的最大值為1即可，對求導，判斷單調(diào)性求最大值；第二問，結(jié)合第一問的結(jié)論，討論的正負，當時，，而與矛盾，當時，當時，與矛盾，當時，分母去分母，等價于，設出新函數(shù)，需要討論的情況，判斷在每種情況下，是否大于0，綜合上述所有情況，寫出符合題意的的取值范圍.
試題解析：（Ⅰ）設，則．
當時，，單調(diào)遞減；
當時，，單調(diào)遞增．
所以．
又，故．           2分

當時，，單調(diào)遞增；
當時，，單調(diào)遞減．
所以．
綜上，有．           5分
（Ⅱ）（1）若，則時，，不等式不成立．  6分
（2）若，則當時，，不等式不成立．  7分
（3）若，則等價于．  ①
設，則．
若，則當，，單調(diào)遞增，． 9分
若，則當，，單調(diào)遞減，．
于是，若，不等式①成立當且僅當．      11分
綜上，的取值范圍是．
考點：1.利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性；2.利用導數(shù)研究函數(shù)的最值；3.恒成立問題.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)，其中.
（Ⅰ）若，求函數(shù)的極值點；
（Ⅱ）若在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)（為常數(shù)），其圖象是曲線．
（1）當時，求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；
（2）設函數(shù)的導函數(shù)為，若存在唯一的實數(shù)，使得與同時成立，求實數(shù)的取值范圍；
（3）已知點為曲線上的動點，在點處作曲線的切線與曲線交于另一點，在點處作曲線的切線，設切線的斜率分別為．問：是否存在常數(shù)，使得？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)，其中為常數(shù).
（Ⅰ）若函數(shù)是區(qū)間上的增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；
（Ⅱ）若在時恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)．
(1)求的單調(diào)區(qū)間；
(2)若,在區(qū)間恒成立,求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)，設
（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
（Ⅱ）若以函數(shù)圖象上任意一點為切點的切線的斜率恒成立，求實數(shù)的最小值
（Ⅲ）是否存在實數(shù)，使得函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象恰有四個不同交點？若存在，求出實數(shù)的取值范圍；若不存在，說明理由。

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)=。
（1）當時，求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；
（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值；
（3）在（1）的條件下，設=+，
求證：  （），參考數(shù)據(jù)：。（13分）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知．
（1）曲線y=f（x）在x=0處的切線恰與直線垂直，求的值；
（2）若x∈[a，2a]求f（x）的最大值；
（3）若f（x1）=f（x2）=0（x1＜x2），求證：．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

設函數(shù)（），其中．
（Ⅰ）當時，求曲線在點處的切線方程；
（Ⅱ）當時，求函數(shù)的極大值和極小值．

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