Question

如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，E是AB邊上的點(diǎn)，F(xiàn)是邊BC上的點(diǎn)，且BE=BF，若將△AED、△DCF分別沿DE、DF折起，使A、C兩點(diǎn)重合于點(diǎn)A₁．
（1）當(dāng)BE=BF=

1

2

BC時(shí)，求三棱錐A₁-EFD的體積；
（2）當(dāng)BE=BF=

1

2

BC時(shí)，求二面角A₁-EF-D的平面角的正切值；
（3）當(dāng)E、F點(diǎn)在何位置時(shí)，點(diǎn)A₁在正方形ABCD的對(duì)角線BD上．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）由正方形ABCD知∠DCF=∠DAE=90°，得A₁D⊥A₁F且A₁D⊥A₁E，所以A₁D⊥平面A₁EF．由勾股定理的逆定理，得△A₁EF是以EF為斜邊的直角三角形，而A₁D是三棱錐D-A₁EF的高線，可以算出三棱錐D-A₁EF的體積，即為三棱錐A₁-DEF的體積．
（2）由題意可得BE=BF，DE=DF，連結(jié)BD交EF于點(diǎn)G，連接A₁G，則可證明∠A₁GD為二面角A₁-EF-D的平面角，然后利用解三角形即可得到答案．
（3）設(shè)BE=BF=x時(shí)，點(diǎn)A₁在正方形ABCD的對(duì)角線BD上．此時(shí)EF=2（2-x），且EF²=BE²+BF²，解方程可得答案．

解答： 解：（1）由正方形ABCD知，∠DCF=∠DAE=90°，
∴A₁D⊥A₁F，A₁D⊥A₁E，
∵A₁E∩A₁F=A₁，A₁E、A₁F⊆平面A₁EF．
∴A₁D⊥平面A₁EF．
∵A₁F=A₁E=1，EF=

2

，
∴A₁F²+A₁E²=2=EF²，得A₁E⊥A₁F，
∴△A₁EF的面積為S_△A1EF=

1

2

，
∵A₁D⊥平面A₁EF．
∴A₁D是三棱錐D-A₁EF的底面A₁EF上的高線，
因此，三棱錐A₁-DEF的體積為：V_A1-DEF=V_D-A1EF=

1

3

S_△A1EF•A₁D=

1

3

．
（2）連接BD交EF于點(diǎn)G，連接A₁G，

∵在正方形ABCD中，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)，
∴BE=BF，DE=DF，
∴點(diǎn)G為EF的中點(diǎn)，
且BD⊥EF
∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，
∴A₁E=A₁F=1，
∴A₁G⊥EF
∴∠A₁GD為二面角A₁-EF-D的平面角
由（1）可得A₁D⊥A₁G，
∴△A₁DG為直角三角形
∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，
∴BD=2

2

，EF=

2

，
∴BG=

2

2

，DG=

3 2

2

，
又AD=2
∴A₁G=

DG2-A1D2

=

2

2

，
∴tan∠A₁GD=

A1D

A1G

=2

2

，
∴二面角A'-EF-D的正切值為2

2

；
（3）設(shè)BE=BF=x時(shí)，點(diǎn)A₁在正方形ABCD的對(duì)角線BD上．
此時(shí)EF=2（2-x），
且EF²=BE²+BF²，
即[2（2-x）]²=2x²，
解得：x=4-2

2

，或x=4+2

2

（舍）
故BE=BF=4-2

2

時(shí)，點(diǎn)A₁在正方形ABCD的對(duì)角線BD上．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與平面垂直的性質(zhì)，考查了二面角的平面角及其求法，利用空間向量求解是新課標(biāo)意圖的體現(xiàn)，關(guān)鍵是建立正確的空間右手系，此題是中檔題．